Limite successione definita per ricorrenza

[maxpix]

Buongiorno, un esercizio chiede di determinare l'esistenza del limite di una successione definita per ricorrenza.
La successione è la seguente ${ ( a_1 = 4 ),( a_(n+1)= (n^2sen1/n)/(5n+2)a_n ):}$
Dobbiamo prima di tutto dimostrare la monotonia no? Svolgendo l'esercizio mi ricordo di essere arrivato alla conclusione che $a_(n+1) < a_n$. Ma poi, dalla disequazione che ne viene fuori, non riesco a ricavare il limite. Sbaglio qualcosa?
Grazie

[dan952]

Una volta che hai provato che è monotona decrescente e hai trovato un minorante in questo caso 0 (i termini son stutti positivi), allora ti basta calcolare $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2\sin(1/n)}{5n+2}a_n=L/5$ lo poni $L=L/5$ (perché l'ho scritto in un altro post poco prima di questo) e trovi $L$

[maxpix]

il post precedente non riesco a trovarlo, Comunque non dovrebbe essere $lim_(n-> oo) a_n = L$?

[dan952]

"maxpix":il post precedente non riesco a trovarlo

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=151812&sid=785414f1e137065f2f76d3ea43834bce

"maxpix":Comunque non dovrebbe essere $\lim_{n→∞}a_n=L$?

Certo, ma a cosa ti riferisci?

[maxpix]

non capisco il perché di $L/5$

[dan952]

Quanto fa $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2\sin(1/n)}{5n+2}$?

[maxpix]

1/5

[maxpix]

quindi è come se dividessi il lim nel prodotto di due limiti di cui uno è il $lim_(n->oo)a_n$ e uno è $lim_(n->oo)(n^2sen1/n)/(5n+2)$

[maxpix]

ok, e invece i minoranti li trovo risolvendo la disequazione $a_(n+1)

Cita

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[dan952]

Quindi $\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{n^2\sin(1/n)}{5n+2}a_n=1/5 \cdot a_n$

La tua domanda se ho capito bene è: perché L=L/5?
Hai letto il post?

[dan952]

Ti basta solo un minorante giusto per far vedere che la serie converge, il minorante è 0 perché i termini della successione sono tutti positivi

[petrogass]

Quindi in questo caso il limite sarebbe 0? Come mai posso impostare l'equazione L=L/5?

[dan952]

Non hai letto il post...

Se una successione converge allora $\lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n+1}-a_n|=0$
Quindi...

[petrogass]

L'ho letto il post...
Quindi, dato che ho dimostrato che la successione è convergente e che $ \L=lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n+1}= \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^2\sin(1/n)}{5n+2}a_n=1/5\cdot lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \frac{1}{5}L $
Posso scrivere \( L=\frac{1}{5}L \) È giusto così? (Anche perché \(lim_{n\rightarrow\infty}|L-\frac{1}{5}L|=0\))

[dan952]

"petrogass":Anche perché $\lim_{n\rightarrow\infty}|L-\frac{1}{5}L|=0$

Attento...non puoi mettere già bello che fatto dentro ad un limite!

Non capisco una cosa, stai alle prime armi con le serie e poi aprì un post dove chiedi come si trovano i massimi e minimi vincolati

[petrogass]

Eh sì, dovrei dare un esame di analisi 2 a breve e con la teoria ci sono, però ora ho bisogno di apprendere velocemente come svolgere un certo tipo di esercizi