Limite successione con taylor

[ionsirbu]

Come posso risolvere questo limite
$lim x→+∞$ $ (e^(−x) + e^(−2x) − e^(−3x)sin (e^x))/((log (1 + e^x + e^(2x)) − 2x − e^(−x))$

ho fatto vari passaggi e arrivo a questo
$ (e^(−x) )/(e^(-2x)+o(e^(-x)+e^(-2x)))$
ho sbagliato qualcosa?

[francicko]

Potendo a denominatore usare le proprietà dei logaritmi avremo:
$log (1+e^x+e^(2x))-2x $ $=log (1+e^x+e^(2x))-log(e^(2x))$ $=log ((1+e^x+e^(2x))/e^(2x))$ $=log((1+e^x)/(e^(2x))+e^(2x)/e^(2x)) $
$=log ((1+e^x)/(e^(2x))+1)$;
Inoltre essendo per $x->infty $ , $(1+e^x)/(e^(2x))~1/e^x $,
ponendo $e^(-x)=1/e^x=t $ possiamo riscrivere il i limite come:
$lim_(t->0)t/((log (t+1)-t)$ $=lim_(t->0) 1/((log(1+t)-t)/t)$ $=lim_(t->0)1/(log (1+t)/t-t/t) $ $=1/(1-1)=1/0=infty $, avendo noto il limite notevole $lim_(t->0)log (1+t)/t=1$;
Con wolfram da lo stesso valore $infty$.
Nel tuo caso avresti $lim_(x->infty)e^(2x)/e^x=e^2$ palesemente diverso ;
Quindi per arrivare alla soluzione e' sufficiente usare il limite notevole $lim_(t->0) log(1+t)/t=1$.