Limite successione

[chess71]

Calcolare il limite di $a_n$ cosi' definita:
$a_n= 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)+ ... + 1/(n+n)$

quando $n$ diverge, $a_n$ diventa la somma di infiniti termini ognuno dei quali tende a zero, quindi credo sia una serie, ma non capisco quale sia il termine generale.

[Covenant]

"chess71":Calcolare il limite di $a_n$ cosi' definita:
$a_n= 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)+ ... + 1/(n+n)$

quando $n$ diverge, $a_n$ diventa la somma di infiniti termini ognuno dei quali tende a zero, quindi credo sia una serie, ma non capisco quale sia il termine generale.

Ti si sta chiedendo di valutare il seguente limite: $lim_(ntooo) sum_(k=1)^n 1/(n+k)$. Il risultato non è proprio immediato anche perché la variabile che tende all'infinito compare all'interno del termine generale della sommatoria.
Per il momento mi è venuto in mente il criterio di confronto serie - integrale per risolvere la questione ma probabilmente ci sono anche altre strade possibili.

La funzione $f(k)=1/(n+k)$ definita in $[1, +oo[$ (con $n>0$) è positiva e decrescente.
Eseguendo i passaggi standard della dimostrazione del criterio di confronto serie - integrale (che trovi qui ad esempio: http://www-dimat.unipv.it/fornaro/docs/ ... ie_int.pdf), si arriva alle diseguaglianze:

$sum_(k=1)^(n-1) f(k+1) <= int_(1)^n f(x) \ dx <= sum_(k=1)^(n-1) f(k)$, che si può anche scrivere come segue (cambiando indice alla sommatoria di sinistra):

$sum_(k=1)^(n) f(k) - f(1) <= int_(1)^n f(x) \ dx <= sum_(k=1)^(n-1) f(k)$.

Sostituendo a $f$ la sua espressione si ha:

$sum_(k=1)^(n) 1/(n+k) - 1/(n+1) <= int_(1)^n 1/(n+x) \ dx <= sum_(k=1)^(n-1) 1/(n+k)$.

Mandando ora $ntooo$ si ottiene:

$lim_(ntooo) sum_(k=1)^(n) 1/(n+k) <= lim_(ntooo) int_(1)^n 1/(n+x) \ dx <= lim_(ntooo) sum_(k=1)^(n-1) 1/(n+k)$.

Il che ci dice che deve essere: $lim_(ntooo) sum_(k=1)^n 1/(n+k) = lim_(ntooo) int_(1)^n 1/(n+x) \ dx $.

L'integrale per fortuna lo sappiamo calcolare e risulta: $int_(1)^n 1/(n+x) \ dx = ln(2n)-ln(n+1) = ln((2n)/(n+1))$ e allora:

$lim_(ntooo)int_(1)^n 1/(n+x) \ dx = lim_(ntooo) ln((2n)/(n+1)) = ln(2) $.

[totissimus]

Propongo un altro metodo:

Mi ricordo che \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln(2)\).

\( \displaystyle a_n-a_{n-1}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n-1+k}\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}-\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\)

\( \displaystyle a_n-a_1=\sum_{k=2}^n (a_k-a_{k-1})=\sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)=\sum_{j=3}^{2n}\frac{(-1)^{j-1}}{j}\)

Essendo \( a_1=\frac{1}{2}\) segue facilmente che:

\( \displaystyle a_n =\sum_{j=1}^{2n}\frac{(-1)^{j-1}}{j}\) e quindi:

\( \displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j-1}}{j}=\ln(2)\)