Limite successione
Salve! Perché
$((n-1)/n)^(n^2) * (sqrt(e))^(2n)$
tende a $e^(-1/2)$ per $n -> oo$
$((n-1)/n)^(n^2) * (sqrt(e))^(2n)$
tende a $e^(-1/2)$ per $n -> oo$
Risposte
Saprai sicuramente che $lim_(n->+oo) (1+1/n)^n =e$.
Forse non sai che $lim_(n->+oo)(1+alpha/n)^(n)=e^(alpha)$
E' questa che viene sfruttata qui (nel nostro caso $alpha= -1$)
Forse non sai che $lim_(n->+oo)(1+alpha/n)^(n)=e^(alpha)$
E' questa che viene sfruttata qui (nel nostro caso $alpha= -1$)
Questo sì ma c'è quella e all'infinito che mi dà problemi
Ciao!
Forse dovresti pure osservare che:
1)$((n-1)/n)^(n^2)*(sqrt(e))^(2*n)=((n-1)/n)^(n^2)*e^n=e^ln[((n-1)/n)^(n^2)]*e^n=e^{n^2*ln(1-1/n)+n}$.
2)$lim_(t->0)[ln(1-t)/t^2+1/t]=lim_(t->0)(log(1-t)+t)/t^2=cdots=-1/2$
(come salta fuori mandando all'Hospital tale forma indeterminata 2 volte consecutive..)
Aggiungi un pizzico di teorema di ricongiungimento tra limiti di funzioni e successioni
(è come il prezzemolo,che non guasta mai..),
ed una semplice proprietà delle successioni,
ed il gioco è fatto:
saluti dal web.
P.S.Naturalmente c'è una totale equivalenza tra la mia metodologia e quella dell'altro post:
se non sei ancora arrivato agli ordini di infiniti ed infinitesimi,usa le mie considerazioni,
altrimenti rifatti a quelle che leggi giù.
Forse dovresti pure osservare che:
1)$((n-1)/n)^(n^2)*(sqrt(e))^(2*n)=((n-1)/n)^(n^2)*e^n=e^ln[((n-1)/n)^(n^2)]*e^n=e^{n^2*ln(1-1/n)+n}$.
2)$lim_(t->0)[ln(1-t)/t^2+1/t]=lim_(t->0)(log(1-t)+t)/t^2=cdots=-1/2$
(come salta fuori mandando all'Hospital tale forma indeterminata 2 volte consecutive..)
Aggiungi un pizzico di teorema di ricongiungimento tra limiti di funzioni e successioni
(è come il prezzemolo,che non guasta mai..),
ed una semplice proprietà delle successioni,
ed il gioco è fatto:
saluti dal web.
P.S.Naturalmente c'è una totale equivalenza tra la mia metodologia e quella dell'altro post:
se non sei ancora arrivato agli ordini di infiniti ed infinitesimi,usa le mie considerazioni,
altrimenti rifatti a quelle che leggi giù.
Sì, hai ragione, bisogna fare in un altro modo.
Scriviamo $(1-1/n)^(n^2)$ così: $e^(n^2*log(1-1/n))$
Lo sviluppo per $n->+oo$ di $log(1-1/n)$ è $-1/n-1/(2 n^2)+O((1/n)^3)$
Quindi $n^2*log(1-1/n)$ si sviluppa $-n- 1/2+ O(1/n)$
Ecco: $(1-1/n)^(n^2)* e^n \sim e^(-n- 1/2+ O(1/n))*e^n =e^(-1/2+ O(1/n))-> e^(-1/2)$
Scriviamo $(1-1/n)^(n^2)$ così: $e^(n^2*log(1-1/n))$
Lo sviluppo per $n->+oo$ di $log(1-1/n)$ è $-1/n-1/(2 n^2)+O((1/n)^3)$
Quindi $n^2*log(1-1/n)$ si sviluppa $-n- 1/2+ O(1/n)$
Ecco: $(1-1/n)^(n^2)* e^n \sim e^(-n- 1/2+ O(1/n))*e^n =e^(-1/2+ O(1/n))-> e^(-1/2)$
Gi8 gli O-grandi non sono nel programma.
Theras con calma provo a seguire il tuo ragionamento. Non sapevo che il teor. di De L'Hospital si potesse applicare anche alle successioni. Anzi, sapevo proprio che non si potesse fare
Theras con calma provo a seguire il tuo ragionamento. Non sapevo che il teor. di De L'Hospital si potesse applicare anche alle successioni. Anzi, sapevo proprio che non si potesse fare
"theras":
...
2)$lim_(t->0)[ln(1-t)/t^2+1/t]=lim_(t->0)(log(1-t)+t)/t^2=cdots=-1/2$
(come salta fuori mandando all'Hospital tale forma indeterminata 2 volte consecutive..)
Aggiungi un pizzico di teorema di ricongiungimento tra limiti di funzioni e successioni
(è come il prezzemolo,che non guasta mai..),
ed una semplice proprietà delle successioni,
ed il gioco è fatto:
saluti dal web.
Ecco perchè ho usato la variabile t
(che dovresti immaginare "posta uguale" alla successione infinitesimale $1/n$..),
ed ho citato il teorema di ricongiungimento tra limiti delle successioni e delle funzioni reali d'una variabile reale:
in questo modo aggiriamo quell'ostacolo facendo considerazioni lecite ed opportune.
Saluti dal web.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo