Limite successione

[Assala1]

Ciao a tutti,stavo facendo alcuni esercizi sulle successioni e ho riscontrato delle difficoltà nella risoluzione di questo limite:
$\lim_{n \to \infty}=(1+\frac{1}{n!})^n$.
Sostituendo a n! la relazione data da Sterling e "tirando fuori un fattore $\frac{1}{n^n}$" appare abbastanza ovvio che il limite tenda a 1. Ma non riesco a capire come procedere per mostrare più esplicitamente che questo tenda a quel valore.

[quantunquemente]

scrivi l'argomento del limite nella forma
$[(1+1/(n!))^(n!)]^(n/(n!))$
riconducendoti ad un noto limite notevole

[Assala1]

"quantunquemente":scrivi l'argomento del limite nella forma
$[(1+1/(n!))^(n!)]^(n/(n!))$
riconducendoti ad un noto limite notevole

Grazie

[taurus85]

scritto il limite nella forma e^ n*log( 1+ 1/n!) log(1+ 1/n!) $=$ 1/n!, quindi n/n! n! domina su n in quanto si avvicina a oo piu velocemente quindi rimane 1/n! che è 0, e^0=1.....

[Assala1]

"taurus85":scritto il limite nella forma e^ n*log( 1+ 1/n!) log(1+ 1/n!) $=$ 1/n!, quindi n/n! n! domina su n in quanto si avvicina a oo piu velocemente quindi rimane 1/n! che è 0, e^0=1.....

Analogamente quindi posso in questo limite: $\lim(n^(n^(1/2))-2^n)$ Ricondurmi alla forma $2^n(e^(log(\frac{n}{2^(n^(1/2))})n^(1/2))-1)$
e dire infine $2^n(-1)=- \infty $ ?

[taurus85]

no prima cosa devi sapere che f(x)^g(x) = e^g(x)*logf(x) cosi facendo diventa e^ n*log( 1+ 1/n!), a log( 1+ 1/n!) puoi applicare il limite notevole log(1+x) $= $x quindi rimane n/n!, n! domina su n in quanto si avvicina a oo piu velocemente quindi rimane 1/n! che è 0, e^0=1.....

[Assala1]

"taurus85":no prima cosa devi sapere che f(x)^g(x) = e^g(x)*logf(x) cosi facendo diventa e^ n*log( 1+ 1/n!), a log( 1+ 1/n!) puoi applicare il limite notevole log(1+x) $= $x quindi rimane n/n!, n! domina su n in quanto si avvicina a oo piu velocemente quindi rimane 1/n! che è 0, e^0=1.....

Si, ho capito il metodo usato (avrei sviluppato $log( 1+ 1/(n!))$ direttamente probabilmente ma è la medesima cosa), stavo solo chiedendo se avevo applicato correttamente in quest'altro limite la parte iniziale del procedimento.


Inoltre avrei un'altra domanda sul calcolo dei limiti delle successioni:
Mi è capitato questo limite : $\lim sin(2\pi(n^2+n^(1/2))^(1/2))$.
Ho capito che il limite esiste se e solo se l'argomento diventa del tipo $k2\pi$ con k appartenente a Z, quindi ho raccolto un $n^2$ e l'ho portato fuori dalla radice, evidenziando che questo effettivamente "tende ad diventare un numero intero". Mi chiedo se questo basti per mostrare che il limite effettivamente esiste ed è uguale a 0...