Limite successione

[roberto.biccario]

salve, vorrei delle conferme sullo svolgimento di questo esercizio:
dire se esiste ed eventualmente calcolare il seguente limite

$lim_(n->infty) cos(npi/4) $

per verificare che il limite esiste, è sufficiente trovare 2 successioni, e verificare che il limite assuma lo stesso risultato.
io ho scelto le successioni seguenti:
$an= 2n $ e $bn= 2n+1$

$lim_(n->infty) cos(2npi/2) = 0 $

$lim_(n->infty) cos((2n+1)pi/2) = 0 $

In questo caso essendo uguali i due risultati, posso affermare che il limite di partenza esiste..è giusto come procedimento?

[quantunquemente]

"SteveMaster":per verificare che il limite esiste, è sufficiente trovare 2 successioni, e verificare che il limite assuma lo stesso risultato.

assolutamente no

il limite non esiste e mi sembra abbastanza ovvio :puoi trovare infiniti valori di $n$ per i quali l'argomento del coseno è del tipo $2kpi$ ed infiniti per i quali è del tipo $pi+2kpi$,tanto per fare un esempio

[roberto.biccario]

e quindi che tipo di successioni posso utilizzare?

[quantunquemente]

il metodo delle sottosuccessioni serve a dimostrare che il limite non esiste ; in pratica è quello che ho fatto io indicando implicitamente 2 sottosuccessioni di valori costanti:una formata da tutti $1$ e l'altra formata da tutti $-1$

[roberto.biccario]

a ok capito..ma perchè le mie successioni non possono essere valide?
cioè se utilizzo le due successioni $an=2kpi$ e $bn=2kpi + pi $
ottengo
$cos(2kpi pi/4) = cos(kpi^2/2) $
e
$cos((2kpi +pi)(pi/4)) = cos(kpi/2+pi^2/2) $

[quantunquemente]

perchè il fatto che 2 successioni si comportino allo stesso modo non vuol dire affatto che tutte le altre seguano la stessa condotta
quindi,in questo modo non hai dimostrato niente

[roberto.biccario]

ma quindi queste vanno bene come successioni? ho inserito i valori che hai ipotizzato tu, ma quel $pi^2$ non mi piace

$cos(2kpi pi/4) = cos(kpi^2/2) $
e
$cos((2kpi +pi)(pi/4)) = cos(kpi/2+pi^2/2) $

[quantunquemente]

scusa,ma fammi capire ,vanno bene per cosa secondo te? per dimostrare che il limite esiste o per dimostrare che non esiste?
perchè se vuoi dimostrare per forza che il limite esiste ti devi rassegnare
non esiste

[roberto.biccario]

no no voglio dimostrare che non esiste xD volevo sapere se le due sostituzioni vanno bene

"SteveMaster":

$cos(2kpi pi/4) = cos(kpi^2/2) $
e
$cos((2kpi +pi)(pi/4)) = cos(kpi/2+pi^2/2) $

perchè ottengo dei valori strani a quanto pare..e dovrei calcolare poi il limite all'infinito di quei due coseni..

[quantunquemente]

no attenzione,io ho detto un altra cosa :devi trovare per quali valori di $n$ l'argomento del coseno è del tipo $2kpi$ o $pi+2kpi$
non devi sostituire direttamente $2kpi$ o $pi+2kpi$

[roberto.biccario]

be io ho $cos(npi/4)$
se prendo $an= 2n$ e $bn=2n + 1 $
ottengo $cos(npi/2) = 0$ e $cos(npi/2+pi/4) = - sqrt(2)/2 $

essendo diversi i due risultati (ergo i limiti) il limite non esiste..
non vanno bene queste due successioni?

[quantunquemente]

per essere precisi,la seconda successione non dà sempre valore $-sqrt2/2$
comunque sì,vanno bene anche queste per il tuo scopo

[roberto.biccario]

si giusto c'è $n$ grazie mille!