Limite stupido (1 variabile)

[giuscri]

Durante lo studio di una funzione di una variabile mi sono ritrovato a dover conoscere questo limite \[\lim_{x \to {-1}^-} (1 +x) \log\frac{1 + x}{x -2}\]

C'è un modo diverso di risolverlo, a parte quello d'usare il teorema di De L'Hospital*?

* In tal caso: cerco l'esistenza del limite seguente \[\lim_{x \to {-1}^-} \frac{D[\log\frac{1 + x}{x -2}]} {D[\frac{1}{1 + x}]} = 0^+\] Ma dato che l'ho usato come metodo d'emergenza, quali altri modi ci sono per risolverlo? Mi sarebbe piaciuto ricorrere ad un più familiare MacLaurin, ma ...boh!

[Noisemaker]

facendo ad esempio la sostituzione $x+1=t$ in cui naturalmente $t\to0$ ed ottieni
\begin{align}
\lim_{t\to0^+} t\cdot\ln\left(\frac{t}{t-3}\right)=\lim_{t\to0^+} t\cdot\ln\left(1+\frac{3}{t-3}\right)\sim\lim_{t\to0^+} t\cdot \frac{3}{t-3} =0
\end{align}

[Obidream]

Noise, un chiarimento
Ma quando abbiamo $log(1+3/(t-3))$, per $t->0$, non è vero che $3/(t-3)->0$ quindi quell'equivalenza non dovrebbe essere sbagliata?

[Kashaman]

"Obidream":Noise, un chiarimento
Ma quando abbiamo $log(1+3/(t-3))$, per $t->0$, non è vero che $3/(t-3)->0$ quindi quell'equivalenza non dovrebbe essere sbagliata?

era la mia stessa perplessità, mi hai preceduto!

[Noisemaker]

"Obidream":Noise, un chiarimento
Ma quando abbiamo $log(1+3/(t-3))$, per $t->0$, non è vero che $3/(t-3)->0$ quindi quell'equivalenza non dovrebbe essere sbagliata?

ma che orrore ho scritto?!?!?!?!? ad una certa ora è meglio che spenga tutto! grazie per l'appunto

\begin{align} \lim_{t\to0^+} t\cdot\ln\left(\frac{t}{t-3}\right)=\lim_{t\to0^+} t\cdot\ln\left(1+\frac{3}{t-3}\right) =0\end{align}

[giuscri]

"Noisemaker":\[\lim_{t\to0} t\cdot\log\left(1+\frac{3}{t-3}\right)\sim\lim_{t\to0^+} t\cdot \frac{3}{t-3}\]

Ma \(\frac{3}{t - 3} \not\to 0\).

EDIT: povero Noisemaker! Ritiro, visto che se n'erano già accorti altri.

[Kashaman]

però non ha tutti i torti,
con la sostituzione $y=x+1$ abbiamo che il limite equivale a
$lim_{y->0^{-}) yln(y/(y-3))=lim_{y->0^{-})ln(y/(y-3))/(1/y)$
Ci accorgiamo che il numeratore in $0$ è un infinito infinitamente piccolo mentre $1/y$ è di ordine $1$ quindi necessariamente quel limite deve convergere a $0$. Ti torna?

[Obidream]

"giuscri":Durante lo studio di una funzione di una variabile mi sono ritrovato a dover conoscere questo limite \[\lim_{x \to {-1}^-} (1 +x) \log\frac{1 + x}{x -2}\]

C'è un modo diverso di risolverlo, a parte quello d'usare il teorema di De L'Hospital*?

Forse si può provare in questo modo:

$lim_(x->-1^-) (1+x)*[log(1+x)-log(x-2)]$

$lim_(x->-1^-) (1+x)*[log(2+(x-1))-log(x-2)]$

$lim_(x->-1^-) (1+x)*[log(2(1+(x-1)/2))-log(x-2)]$

$lim_(x->-1^-) (1+x)*[log(2)+log(1+(x-1)/2)-log(x-2)]$

Anche se non mi spiego come calcolare $lim_(x->-1^-) -log(x-2)$ visto che non è punto di accumulazione per il dominio di $log(x-2)$...