Limite strano da risolvere con Taylor

[Baldur1]

$lim_(x->0) [(x+1)^(x+1) - (x+1)^x - senx] / x^3$

Per quanto riguarda senx è ok, ma per quello che c'è prima? Di cosa si tratta?

[Obidream]

Prova a metterlo in forma esponenziale quindi:

$lim_(x->0) (e^((x+1)*log(1+x))-e^(x*log(1+x))-sin(x))/x^3$

Ora dovresti poter usare gli sviluppi di Mclaurin

[Noisemaker]

si tratta di esponenziali

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^{x+1}-(x+1)^{x}-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{(x+1)\ln({x+1})}-e^{x\ln(x+1) }-\sin x}{x^3}
\end{align*}

[Baldur1]

Ah, però non ho capito come li avete portati in quella forma! Avete elevato $e$ ok, ma a cosa?

[Noisemaker]

Proprietà dei logaritmi

\[ a^{\log_a x} = \log_a {a^x} = x \]

[Kashaman]

Più che semplici proprietà dei logaritmi.. si usa il fatto che Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale.
Nel tuo caso , se $a>0$ avresti potuto scrivere ad esempio
$(x+1)^x = a^(log_a((x+1)^x)) = a^(x*log_a(x+1))$. Generalmente si usa $a=e$ per facilitare i conti.. lo sviluppo di Taylor di $e^x$ è più semplice rispetto a quello di $a^x$

[Baldur1]

Grazie mille, chiaro!

Però poi la sostituzione con taylor come la effettuo? Mi sembra un po' complessa!