Limite strano

[Sk_Anonymous]

Salve, devo discutere questo limite:

$ lim_(x -> 0) (log^2(1+x)-log(1+x^2) + ax^3) / (|x|^b) $

Al variare di $a$ e $b$. Tra le soluzioni c'è che se $a=1$ e $b=4$ allora il limite tende a $17/4$ ma questo risultato proprio non mi viene. Io provo ad approssimare il limite con McLaurin in questo modo

$ lim_(x -> 0) (...) = lim_(x -> 0) ( (x - (x^2)/2 + o(x^2) )^2 - (x^2 - (x^4)/2 + o(x^4)) + ax^3) / (|x|^b) $

Svolgendo il quadrato

$ lim_(x -> 0) ( x^2 + (x^4)/2 + o(x^4) - 2 ((x^3)/2) + 2o(x^3) - o(x^4) - x^2 + (x^4)/2 - o(x^4) + ax^3) / (|x|^b) $

Eliminando gli errori più piccoli di $o(x^3)$

$ lim_(x -> 0) (-x^3+o(x^3)+ax^3) / (|x|^b) $

e per $a=1$ e $b=4$ il limite viene $+oo$

Potreste spigarmi come si fa e\o dove sbaglio?

[Giuly191]

I calcoli dovresti averli fatti giusti, solo che hai sbagliato le conclusioni! Se a=1 a quel punto i due x^3 si annullano, quindi sopra avresti o(x^3), che così com'è non ti dice assolutamente niente sul limite! quindi devi sviluppare fino ad avere x^4 e vedi che il 17/4 salta fuori!

[Sk_Anonymous]

Ma come faccio a calcolare

$ (x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - o(x^3) )^2 $

Quadrato di quadrinomio? non viene un po' lungo? Considera che è un esercizio di esame .....

E anche se sviluppo maggiormente il secondo termine non ottengo niente perchè nello sviluppo del primo c'è l'o(x^3) che mi ammazza tutti i termini più piccoli che ottengo .....

[Giuly191]

Invece devi proprio fare quel quadrato di un quadrinomio, ti consiglio di considerare subito qual'è l'o piccolo meno preciso, in modo da evitare di scrivere i termini che sai già saranno da trascurare! Come esercizio d'esame non è poi così difficile, il mio prof si è inventato di molto peggio! Ovviamente devi arrivare a x^4 anche con log(1+x^2) ma lo ottieni subito quello!

[Seneca1]

In generale dovrebbe valere la seguente proprietà:

$[f(x)+o(f(x))]^p = f^p(x)+o(f^p(x))$.


@Giuly : "Incastra" le formule tra i simboli di dollaro; si leggono meglio.