Limite strano

[CeRobotNXT]

Ciao a tutti!
ho questo limite che stranamente non mi esce:
$lim(|x-1|e^(-2/x)-x)$per x che tende a infinito.
A me viene come risultato -1. Invece dovrebbe venire -3. Come è possibile?
Grazie anticipatamente a tutti.

[ciampax]

Per $x\to+\infty$ o $-\infty$? Perché i limiti sono diversi in questo caso.

[CeRobotNXT]

$x\to+\infty$

"ciampax":Per $x\to+\infty$ o $-\infty$? Perché i limiti sono diversi in questo caso.

[ciampax]

Allora, osserva per prima cosa che $x-1>0$ se $x\to+\infty$, per cui $|x-1|=x-1$ e puoi scrivere

[tex]$\lim_{x\to+\infty}\left[(x-1) e^{-2/x}-x\right]=\lim_{x\to+\infty}\left[x(e^{-2/x}-1)-e^{-2/x}\right]$[/tex]

Posto allora [tex]$t=-2/x,\ t\to 0^-$[/tex] e quindi

[tex]$\lim_{t\to 0^-}\left[-2\cdot\frac{e^t-1}{t}-e^t\right]=-2\cdot 1-1=-3$[/tex]

usando il limite notevole [tex]$\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$[/tex]

[Seneca1]

$lim_(x -> +oo) (|x-1|e^(-2/x)-x) = lim_(x -> +oo) ( x - 1 ) e^(-2/x) - x$

$lim_(x -> +oo) x e^(-2/x) - x - e^(-2/x) = lim_(x -> +oo) (e^(-2/x) - 1)/(1/x) - e^(-2/x)$

Con un cambio di variabile dovresti ricondurti al limite notevole...



P.S.: Che dire... Ciampax mi ha anticipato.

[CeRobotNXT]

Ok grazie mille ad entrambi!

"Seneca":$lim_(x -> +oo) (|x-1|e^(-2/x)-x) = lim_(x -> +oo) ( x - 1 ) e^(-2/x) - x$

$lim_(x -> +oo) x e^(-2/x) - x - e^(-2/x) = lim_(x -> +oo) (e^(-2/x) - 1)/(1/x) - e^(-2/x)$

Con un cambio di variabile dovresti ricondurti al limite notevole...



P.S.: Che dire... Ciampax mi ha anticipato.