Limite: situazione di stallo
il limite che non riesco a risolvere è il seguente
$ lim_(x -> +oo ) [e^(-1/x)(1 + 1/x cos(1/x)]^(x^2 + (logx)^2) $
essendo una forma indeterminata l'ho riscritto nel seguente modo, in modo da studiarne l'esponente all'infinito:
$ lim_(x -> +oo ) e^ln [ (e^(-1/x) (1+1/x cos(1/x))]^(x^2 + (logx)^2 ) $
arrivato qua non so come andare avanti
sapreste darmi una dritta per proseguire.
grazie a tutti
$ lim_(x -> +oo ) [e^(-1/x)(1 + 1/x cos(1/x)]^(x^2 + (logx)^2) $
essendo una forma indeterminata l'ho riscritto nel seguente modo, in modo da studiarne l'esponente all'infinito:
$ lim_(x -> +oo ) e^ln [ (e^(-1/x) (1+1/x cos(1/x))]^(x^2 + (logx)^2 ) $
arrivato qua non so come andare avanti
sapreste darmi una dritta per proseguire.
grazie a tutti
Risposte
Come suggerisce il testo?
Come hai visto fare al docente?
Come si fa di solito?
Come hai visto fare al docente?
Come si fa di solito?
il testo non da suggerimenti, ho solo il limite per come è scritto
ho provato a fare un cambio di variabile (x=1/t) o anche spostando l'esponenziale al denominatore dato che è elevato ad esponente negativo e ad usare Hopital ma non ne vengo a capo comunque.
Di solito lo scrivo in quella forma ed uso uno dei metodi citati.
Ma continua a non tornare
ho provato a fare un cambio di variabile (x=1/t) o anche spostando l'esponenziale al denominatore dato che è elevato ad esponente negativo e ad usare Hopital ma non ne vengo a capo comunque.
Di solito lo scrivo in quella forma ed uso uno dei metodi citati.
Ma continua a non tornare
"bernardo1504":
il testo non da suggerimenti
Non intendevo questo.
Piuttosto: nella teoria, è spiegato come risolvere forme indeterminate?
Come?
Quali strategie sono spiegate?
Come si possono applicare al tuo caso?
"bernardo1504":
ho solo il limite per come è scritto
ho provato a fare un cambio di variabile (x=1/t) o anche spostando l'esponenziale al denominatore dato che è elevato ad esponente negativo e ad usare Hopital ma non ne vengo a capo comunque.
Di solito lo scrivo in quella forma ed uso uno dei metodi citati.
Ma continua a non tornare
Cioè, sai solo usare il teorema di de l'Hôpital ed il cambiamento di variabile?
Hai mai sentito parlare di limiti notevoli? E di sviluppi di Taylor?
Ciao bernardo1504,
Per il limite proposto si ha:
$ \lim_{x \to +infty}[e^(-1/x)(1 + 1/x cos(1/x))]^{x^2 + (logx)^2} = 1/\sqrt{e} $
Quindi, riscritto nella forma che hai già ottenuto, non ti resta che dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to +infty} ln[e^(-1/x) (1+1/x cos(1/x))]^{x^2 + (logx)^2} = - 1/2 $
Per il limite proposto si ha:
$ \lim_{x \to +infty}[e^(-1/x)(1 + 1/x cos(1/x))]^{x^2 + (logx)^2} = 1/\sqrt{e} $
Quindi, riscritto nella forma che hai già ottenuto, non ti resta che dimostrare che si ha:
$ \lim_{x \to +infty} ln[e^(-1/x) (1+1/x cos(1/x))]^{x^2 + (logx)^2} = - 1/2 $
Semplificherei ulteriormente la forma del limite osservando che ad esponente $x^2$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad $(logx)^2$, quindi trascurando quest'ultimo, ponendo per comodita $1/x=t$ riscrivo il limite nella forma , $lim_(t->0)log((e^-t)(1+tcost))/(t^2)$ $=lim_(t->0)(loge^(-t)+log(1+t(cost)))/t^2$, ed a questo punto sviluppando a numeratore i termini con Taylor dalla loro somma algebrica dovrebbe venir fuori $lim_(t->0)((-t^2/2)+o(t))/t^2=-1/2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo