Limite sin1\x

[galles90]

Buonasera amici, ho provato a dimostrare il \(\displaystyle \lim_{x \to 0} sin\tfrac{1}{x} \), a modo mio
Come si sa il suddetto limite non esiste , pertanto se il limite esistesse il limite destro e sinistro devono coincidere, allora si ha:

\(\displaystyle |sin\tfrac{1}{x}| \le 1 \rightarrow -1\le \ sin\tfrac{1}{x} \le 1 \), pertanto il limite se esiste \(\displaystyle L\in [-1,1] \).
Risolvendo il sistema otteniamo due valori:
1 \(\displaystyle \forall x_k\ne \tfrac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi} \rightarrow sin\tfrac{1}{x} \le 1 \)
2 \(\displaystyle \forall y_k\ne \tfrac{1}{\tfrac{3 \pi}{2}+2k\pi} \rightarrow sin\tfrac{1}{x} \ge -1 \)

Applicando la definizione di limite destro si ha:

scelto un \(\displaystyle \epsilon >0 \), in corrispondenza di tale scelta si ha un intorno \(\displaystyle U_{\epsilon} = 0 Lo stesso vale anche per il limite sinistro.

Grazie infinitamente per le risposte-consigli

[Weierstress]

[ot]Aggiungere una \ prima del seno nei comandi TeX lo fa diventare più bello: \(\sin\) contro \(sin\) [/ot]

[galles90]

Grazie ma la dimostrazione come va ?

[Bremen000]

"galles90":
Risolvendo il sistema otteniamo due valori:
1 \( \displaystyle \forall x_k\ne \tfrac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi} \rightarrow sin\tfrac{1}{x} \le 1 \)
2 \( \displaystyle \forall y_k\ne \tfrac{1}{\tfrac{3 \pi}{2}+2k\pi} \rightarrow sin\tfrac{1}{x} \ge -1 \)

Cioè vuoi dire che risolvendo il sistema con le disuguaglianze strette ottieni due successioni di valori t.c. il seno calcolato in esse si mantiene strettamente compreso tra $-1$ e $1$? Perché così non è chiaro...

"galles90":di tale scelta

Cioè?

"galles90":allora |sin1x−L|≤1

E la $\epsilon$?


Sinceramente non ho capito molto quello che vuoi fare.

In ogni caso per dimostrare che quel limite non esiste ti consiglio un cambio di variabile $y= 1/x$ e poi trovare qualche successione furba...