Limite si funzione (per me) difficile

[senter]

Salve ragazzi,
vi scrivo il seguente limite:

$lim_(x->0^+) ((sqrt(2x^2+x)-x(sqrt(2)))/(sqrt(tanx)))$

Ho provato a risolverlo in diversi modi.
Constatando che il tutto tende a $0/0$, ho cercato di applicare de l'Hopital, ottenendo:

$lim_(x->0^+) ((4x+1)/(2sqrt(2x^2+x)))/(1/(cos^2(x)) 1/(2sqrt(tanx))) = ((4x+1)cos^2(x)sqrt(tan(x)))/sqrt(2x^2+x)$

Ho provato a verificare con Wolfram Alpha il risultato sia della funzione originale sia della funzione dopo aver applicato
de l'Hopital e il risultato è lo stesso, ovvero $1$.

Ma da qui non riesco a muovermi! Non so cosa fare ora!!
In qualsiasi modo mi muova, mi ritrovo incastrato!!

Chi mi sa dare una dritta su come continuare l'esercizio?

[Seneca1]

Se raccogli $sqrt(2) * x$ a numeratore dovresti poter applicare il limite notevole: $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^(1/2) - 1)/y = 1/2$.

Per quanto riguarda il denominatore, $sqrt(tan(x)) sim sqrt(x)$.

[Quinzio]

Io lo farei così:
razionalizzi il numeratore
$(\sqrt(2x^2+x)-x\sqrt2)/(\sqrt(tan x))$

$x/(\sqrt(tan x) (\sqrt(2x^2+x)+x\sqrt2)) $

$x/((\sqrt(tan x)) (\sqrtx+o(\sqrtx))) $

[senter]

"Seneca":Se raccogli $sqrt(2) * x$ a numeratore dovresti poter applicare il limite notevole: $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^(1/2) - 1)/y = 1/2$.

Per quanto riguarda il denominatore, $sqrt(tan(x)) sim sqrt(x)$.

Non riesco proprio a vederlo...

"Quinzio":Io lo farei così:
razionalizzi il numeratore
$(\sqrt(2x^2+x)-x\sqrt2)/(\sqrt(tan x))$

$x/(\sqrt(tan x) (\sqrt(2x^2+x)+x\sqrt2)) $

$x/((\sqrt(tan x)) (\sqrtx+o(\sqrtx))) $

Questo metodo diciamo è un po piu pratico!
Potrei approssimare $sqrt(tanx)$ con $sqrt(x)$; in questo modo il limite viene esatto!

Mi piacerebbe riuscire però a svolgerlo anche come mi ha consigliato seneca!


Mettendo in evidenza $2sqrt(x)$ non ottengo quel limite notevole...sbaglio qualche calcolo??

Grazie mille comunque a tutti e due!