Limite sfida
Ciao a tutti!
Sto provando da un po' a svolgere il seguente limite ma non riesco ad arrivare a nessuna conclusione che sia giusta. Spero che qualcuno sappia aiutarmi! Grazie a tutti
$ lim_(n -> oo) sen(pien!) $
Sto provando da un po' a svolgere il seguente limite ma non riesco ad arrivare a nessuna conclusione che sia giusta. Spero che qualcuno sappia aiutarmi! Grazie a tutti
$ lim_(n -> oo) sen(pien!) $
Risposte
Prova a scrivere $e$ come serie dell'inverso dei fattoriali...sai quanto deve venire?
in realtà pensavo più a scrivere il sen come serie e poi risolvere l'integrale però è complicatissimo... Dovrebbe venire 0
Ciao Elena96,
Non so se l'hai scritto bene, ma così com'è scritto quel limite non esiste...
Non so se l'hai scritto bene, ma così com'è scritto quel limite non esiste...
Io credo che venga zero solo perché in realtà lho sentito dire da un mio collega ma non so se sia giusto xD Potresti dirmi il perché?
Certo: perché la funzione seno continua ad oscillare fra $-1$ e $1$ all'aumentare di $n$, per cui il limite non esiste...
Scusa una domanda: quello che dici è sicuramente vero per una funzione di variabile reale ma lo è anche per una successione?
Esatto, quello che volevo sapere anche io
Bremen mi ha messo una pulce nell'orecchio: se espandi $e$ con Taylor ottieni una sommatoria con i fattoriali a denominatore, il cui m.c.m. è $n!$ che si semplifica con $n!$ dell'argomento; in pratica rimane una somma di interi che moltiplica $pi$ per cui il seno sarà zero per $n$ che tende all'infinito ... È giusto quello che dico?
Il ragionamento fila però mi sfugge qualcosa... il fattoriale si semplifica e rimane una sommatoria di x^n moltiplicata per pigrego. Il fatto che questi siano effettivamente degli interi lo deduco dal fatto che non sto parlando di funzione bensì di successione?
Dunque:
$sin(\pi e n! ) = \sin (\pi n! \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = \sin (\pi [\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!} ]) = \sin(\pi \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!})\cos(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) + \cos(\pi\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}) \sin(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) = 0 + (-1)^{\beta(n)} \sin(\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!})$
dove $\beta(n)$ è un'opportuna funzione che vale $-1$ se $\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$ (che è un numero naturale per ogni $n$) è dispari e $1$ altrimenti.
Ora è sufficiente osservare che $\sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} + ... $ e dunque per $n$ che tende a più infinto è asintotico a $\frac{1}{n+1}$.
Quindi $
\lim_{n \to \infty} sin(\pi e n! ) = \lim_{n \to \infty} (-1)^{\beta(n)} \sin(\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(-1)^{\beta(n)}}{n+1} =0$
Se si avesse avuto $n$ numero reale allora il limite non sarebbe esistito.
Ciao!
$sin(\pi e n! ) = \sin (\pi n! \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}) = \sin (\pi [\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!} ]) = \sin(\pi \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!})\cos(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) + \cos(\pi\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}) \sin(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) = 0 + (-1)^{\beta(n)} \sin(\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!})$
dove $\beta(n)$ è un'opportuna funzione che vale $-1$ se $\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$ (che è un numero naturale per ogni $n$) è dispari e $1$ altrimenti.
Ora è sufficiente osservare che $\sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} + ... $ e dunque per $n$ che tende a più infinto è asintotico a $\frac{1}{n+1}$.
Quindi $
\lim_{n \to \infty} sin(\pi e n! ) = \lim_{n \to \infty} (-1)^{\beta(n)} \sin(\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(-1)^{\beta(n)}}{n+1} =0$
Se si avesse avuto $n$ numero reale allora il limite non sarebbe esistito.
Ciao!
Ciao Bremen000,
Complimenti, veramente molto ingegnoso... Però c'è un punto del tuo ragionamento che non è corretto che è il seguente:
Non si può passare al limite solo per ciò che ci conviene. In realtà quella serie è effettivamente convergente, ma si ha:
$ \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = e[n! - \Gamma(n + 1, 1)]$
ove $\Gamma(a, x) := \int_{x}^{+\infty} t^{a - 1} e^{-t} dt$ è la funzione gamma incompleta superiore ($\Gamma(a, 0) = \Gamma(a)$), che nel caso in esame diventa
$\Gamma(n + 1, 1) = \int_{1}^{+\infty} t^{n} e^{-t} dt$
Complimenti, veramente molto ingegnoso... Però c'è un punto del tuo ragionamento che non è corretto che è il seguente:
"Bremen000":
Ora è sufficiente osservare che $\sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} + ...$ e dunque per $n$ che tende a più infinito è asintotico a $frac{1}{n+1}$.
Non si può passare al limite solo per ciò che ci conviene. In realtà quella serie è effettivamente convergente, ma si ha:
$ \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = e[n! - \Gamma(n + 1, 1)]$
ove $\Gamma(a, x) := \int_{x}^{+\infty} t^{a - 1} e^{-t} dt$ è la funzione gamma incompleta superiore ($\Gamma(a, 0) = \Gamma(a)$), che nel caso in esame diventa
$\Gamma(n + 1, 1) = \int_{1}^{+\infty} t^{n} e^{-t} dt$
Ciao, non capisco perché dici che passo al limite...il mio intento era solo stimare il comportamento asintotico della funzione
$f(n) = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}$
quando $n$ tende a infinito. Siccome i termini della serie sono il primo un infinitesimo di ordine $\frac{1}{n}$ e gli altri di ordine superiore li trascuravo. Comunque, siccome non ci interessa l'ordine ma solo che converga in questo caso, vale, per $n>1$ :
$\frac{1}{n+1} < \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} < \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} < \frac{1}{n-1} $
ovvero
$ \frac{1}{n+1} < f(n) < \frac{1}{n-1} $
E dunque $f(n)$ tende a $0$.
$f(n) = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}$
quando $n$ tende a infinito. Siccome i termini della serie sono il primo un infinitesimo di ordine $\frac{1}{n}$ e gli altri di ordine superiore li trascuravo. Comunque, siccome non ci interessa l'ordine ma solo che converga in questo caso, vale, per $n>1$ :
$\frac{1}{n+1} < \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!} < \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k} < \frac{1}{n-1} $
ovvero
$ \frac{1}{n+1} < f(n) < \frac{1}{n-1} $
E dunque $f(n)$ tende a $0$.
Ciao Bremen000,
Ti ringrazio per il chiarimento, ma mi scuso perché in effetti avevo male interpretato io ed inoltre ho verificato che vale la stima asintotica
$ \sum_{t=1}^{+\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = e[n! - \Gamma(n + 1, 1)]$ [tex]\sim[/tex] $\frac{1}{n}$
per $n \to +infty$, per cui la dimostrazione appare sostanzialmente corretta a parte un paio di punti che ti segnalo:
1) Errore veniale: la prima sommatoria dopo il primo uguale deve partire da $k = 0$, non da $k = 1$;
2) Se definisci, come hai fatto correttamente, l'opportuna funzione
$\beta(n) := {(1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è pari}),(-1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è dispari} ):}$
si ha semplicemente
$\cos(\pi\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}) \sin(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) = \beta(n) \cdot \sin[\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}]$
invece $(-1)^{\beta(n)}$ è errato perché restituirebbe il valore $-1$ sia per $\beta = 1$ che per $\beta = - 1$. In alternativa, se preferisci mantenere il $(-1)^{\beta(n)}$, puoi sempre definire diversamente l'opportuna funzione $\beta(n)$ ad esempio nel modo seguente:
$\beta(n) := {(0, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è pari}),(1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è dispari} ):}$
Detto quanto sopra, ti rinnovo i miei complimenti per l'ingegnosa dimostrazione.
Ti ringrazio per il chiarimento, ma mi scuso perché in effetti avevo male interpretato io ed inoltre ho verificato che vale la stima asintotica
$ \sum_{t=1}^{+\infty} \frac{n!}{(t+n)!} = e[n! - \Gamma(n + 1, 1)]$ [tex]\sim[/tex] $\frac{1}{n}$
per $n \to +infty$, per cui la dimostrazione appare sostanzialmente corretta a parte un paio di punti che ti segnalo:
1) Errore veniale: la prima sommatoria dopo il primo uguale deve partire da $k = 0$, non da $k = 1$;
2) Se definisci, come hai fatto correttamente, l'opportuna funzione
$\beta(n) := {(1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è pari}),(-1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è dispari} ):}$
si ha semplicemente
$\cos(\pi\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}) \sin(\pi\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}) = \beta(n) \cdot \sin[\pi \sum_{t=1}^{\infty} \frac{n!}{(t+n)!}]$
invece $(-1)^{\beta(n)}$ è errato perché restituirebbe il valore $-1$ sia per $\beta = 1$ che per $\beta = - 1$. In alternativa, se preferisci mantenere il $(-1)^{\beta(n)}$, puoi sempre definire diversamente l'opportuna funzione $\beta(n)$ ad esempio nel modo seguente:
$\beta(n) := {(0, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è pari}),(1, text{se } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} text{ è dispari} ):}$
Detto quanto sopra, ti rinnovo i miei complimenti per l'ingegnosa dimostrazione.
Ciao, ti ringrazio! Devo aver adattato qualcosa visto qualche anno fa comunque, non mi è venuta in mente dal nulla!
Per la definizione di $\beta(n)$ hai proprio ragione, volevo dire che vale $0$ o $1$, ma sono un po' suonato, deve essere colpa delle troppe serie di Fourier!!
Per la definizione di $\beta(n)$ hai proprio ragione, volevo dire che vale $0$ o $1$, ma sono un po' suonato, deve essere colpa delle troppe serie di Fourier!!
"Bremen000":
... deve essere colpa delle troppe serie di Fourier!!
Ti capisco... 
Comunque no problem: tutti possiamo sbagliare, come hai visto anche il sottoscritto...
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