Limite-Serie parametrica
Ciao a tutti,scrivo le mie due domande qui in modo da evitare doppi post..
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Svolgendo il limite $ lim_(n -> oo) 2 ^(n^2)/(n!+1) $ ,in base agli ordini di infinito di $ n! $ e $ 2^n$ ho dato subito piu valore a $ n! $ dando subito come risultato $ 0 $ .Il risulttato Non é esatto,ma ho visto che vi é uno svlgimento preciso.quello che vorrei chiedervi é xchè non si può in questo modo..
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Serie parametriche
Vorrei capire come lavorare,sulle serie parametriche..
$ sum (n^4+n^a)/(n^6+3) $
La confronto con $ 1/n^2 $ ,il risultato lo pongo uguale a zero visto che la sto confrontando con una cosa che converge..
Quando vado a fare il limite ,ho un problema
$ lim_(n -> oo) (n^4+n^a)*n^2/(n^6+3) $ ,come completo il limite con a??
Devo prendere in considerazione per l'uguaglianza $(n^4+n^a)$??
Con questo metodo troverei solo un valore e non l'intervallo di convergenza..
Spero che possiate chiarirmi le idee
Grazie
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Svolgendo il limite $ lim_(n -> oo) 2 ^(n^2)/(n!+1) $ ,in base agli ordini di infinito di $ n! $ e $ 2^n$ ho dato subito piu valore a $ n! $ dando subito come risultato $ 0 $ .Il risulttato Non é esatto,ma ho visto che vi é uno svlgimento preciso.quello che vorrei chiedervi é xchè non si può in questo modo..
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Serie parametriche
Vorrei capire come lavorare,sulle serie parametriche..
$ sum (n^4+n^a)/(n^6+3) $
La confronto con $ 1/n^2 $ ,il risultato lo pongo uguale a zero visto che la sto confrontando con una cosa che converge..
Quando vado a fare il limite ,ho un problema
$ lim_(n -> oo) (n^4+n^a)*n^2/(n^6+3) $ ,come completo il limite con a??
Devo prendere in considerazione per l'uguaglianza $(n^4+n^a)$??
Con questo metodo troverei solo un valore e non l'intervallo di convergenza..
Spero che possiate chiarirmi le idee
Grazie
Risposte
"Gianni91":
Ciao a tutti,scrivo le mie due domande qui in modo da evitare doppi post..
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Svolgendo il limite $ lim_(n -> oo) 2 ^(n^2)/(n!+1) $ ,in base agli ordini di infinito di $ n! $ e $ 2^n$ ho dato subito piu valore a $ n! $ dando subito come risultato $ 0 $ .Il risulttato Non é esatto,ma ho visto che vi é uno svlgimento preciso.quello che vorrei chiedervi é xchè non si può in questo modo..
Avessi $2^n$, va bene... Ma con $2^(n^2)$ chi ti dice che gerarchicamente è un infinito di ordine inferiore rispetto al fattoriale?
Insomma, volendo esagerare posso prendere $2^(n!)$ e questo si vede subito che è un infinito di ordine superiore rispetto a $n!$. Quindi non è vero che $2^(a_n)$, qualsiasi sia $a_n$ successione divergente per $n -> +oo$, è un infinito di ordine inferiore rispetto a $n!$.
"Gianni91":
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Serie parametriche
Vorrei capire come lavorare,sulle serie parametriche..
$ sum (n^4+n^a)/(n^6+3) $
La confronto con $ 1/n^2 $ ,il risultato lo pongo uguale a zero visto che la sto confrontando con una cosa che converge..
Quando vado a fare il limite ,ho un problema
$ lim_(n -> oo) (n^4+n^a)*n^2/(n^6+3) $ ,come completo il limite con a??
Devo prendere in considerazione per l'uguaglianza $(n^4+n^a)$??
Con questo metodo troverei solo un valore e non l'intervallo di convergenza..
Tu parli di intervallo di convergenza... Ma bada che non hai una serie di potenze, lì.
In ogni caso, $n^4 + n^a sim n^4$ , per $n -> +oo$ e $AA a < 4$. In questo caso ti riduci a studiare una serie numerica senza parametro.
Quali casi ti rimangono da esaminare?
"Seneca":
Avessi $2^n$, va bene... Ma con $2^(n^2)$ chi ti dice che gerarchicamente è un infinito di ordine inferiore rispetto al fattoriale?
Si era proprio questo che dubitavo,grazie per la dritta
"Seneca":
Tu parli di intervallo di convergenza... Ma bada che non hai una serie di potenze, lì.
Scusami ,intendevo l'intervallo di alpha,naturalmente non é una serie di potenze..
"Seneca":
In ogni caso, $n^4 + n^a sim n^4$ , per $n -> +oo$ e $AA a < 4$. In questo caso ti riduci a studiare una serie numerica senza parametro.
Quali casi ti rimangono da esaminare?
Prendendo in considerazione $a < 4$,avrei un limite senza parametro
$ lim_(n -> oo) (n^6)/(n^6+3)=1 $,ma non sono sicuro di aver capito cosa farci???
Mh?
Prendendo $a < 4$ la serie data ha lo stesso carattere della serie $sum n^4/(n^6 +3)$. Quest'ultima serie converge o diverge?
Prendendo $a < 4$ la serie data ha lo stesso carattere della serie $sum n^4/(n^6 +3)$. Quest'ultima serie converge o diverge?
"Seneca":
Mh?
Prendendo $a < 4$ la serie data ha lo stesso carattere della serie $sum n^4/(n^6 +3)$. Quest'ultima serie converge o diverge?
Ehm hai ragione,facevo le mie valutazioni sul limite del rapporto con $1/n^2$..
Per quanto riguarda la serie sopra citata converge confrontata con $1/n^2$..
Quindi vorrei capire quando ho davanti delle serie parametriche che mi consigli di fare??
Grazie
"Gianni91":
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Svolgendo il limite $ lim_(n -> oo) 2 ^(n^2)/(n!+1) $ ,in base agli ordini di infinito di $ n! $ e $ 2^n$ ho dato subito piu valore a $ n! $ dando subito come risultato $ 0 $ .Il risulttato Non é esatto,ma ho visto che vi é uno svlgimento preciso.quello che vorrei chiedervi é xchè non si può in questo modo..
Qui, chiaramente, hai:
\[
\lim_n \frac{2^{n^2}}{n!+1}= \lim_n \frac{2^{n^2}}{n!}\ \frac{1}{1+\frac{1}{n!}}
\]
col secondo fattore al secondo membro che tende ad \(1\); quindi per risolvere basta cercare di calcolare il limite di \(2^{n^2} (n!)^{-1}\).
Ricordata l'approssimazione di Stirling:
\[
n! \approx \sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n}
\]
ti riconduci a calcolare:
\[
\begin{split}
\lim_n \frac{2^{n^2} e^n}{n^{n+1/2}} &= \lim_n \frac{1}{\sqrt{n}}\ \left( \frac{e\ 2^n}{n}\right)^n\\
&= \lim_n \frac{1}{\sqrt{n}}\ \exp \left( n\ \ln \frac{e\ 2^n}{n}\right)\\
&= \lim_n \frac{1}{\sqrt{n}}\ \exp \left( n\ (1+ n\ln 2 -\ln n)\right)\\
&= \lim_n \frac{1}{\sqrt{n}}\ \exp \left( n^2\ \left(\ln 2+ \frac{1 -\ln n}{n}\right)\right)\\
&=+\infty
\end{split}
\]
in quanto si ha:
\[
\exp \left( n^2\ \left(\ln 2+ \frac{1 -\ln n}{n}\right)\right) \approx e^{n^2\ln 2}\; ,
\]
con \(\ln 2>0\).
"gugo82":
Ricordata l'approssimazione di Stirling:
\[
n! \approx \sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n}
\]
Proprio quello che ho usato
,ma dopo essere caduto in errore 
equagliandolo a 2^n
"Gianni91":
[quote="Seneca"]Mh?
Prendendo $a < 4$ la serie data ha lo stesso carattere della serie $sum n^4/(n^6 +3)$. Quest'ultima serie converge o diverge?
Ehm hai ragione,facevo le mie valutazioni sul limite del rapporto con $1/n^2$..
Per quanto riguarda la serie sopra citata converge confrontata con $1/n^2$..
Quindi vorrei capire quando ho davanti delle serie parametriche che mi consigli di fare??
Grazie[/quote]
Potreste rispondere a questa domanda??
Grazie mille
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