Limite serie di funzioni
Salve a tutti.. ho un quesito...
si tratta di di una successione di funzioni
$\sum_(n=1)^(+oo) (2^n + (-8)^n)/(n^2) * (x + 1/2)^n$
A questo punto devo calcolarmi il relativo limite(per ricavare il raggio di convergenza):
$lim_(n-> +oo) |(2^(n+1) + (-8) ^ (n+1))/((n^2)+1)|*|(n^2)/(2^n+(-8)^n)|$
Purtroppo non ho ben chiara la risoluzione di questi limiti... in un post precedente mi è stata indicata la traccia di una soluzione... ma... il prof a me ha indicato che lo si risolve attraverso un limite notevole... lui ha fatto cenno di "dominante", riferendosi in particolare all'8. (infatti il risultato del limite sarebbe 8)
Ora ho cercato e ricercato ma l'unica cosa che ho trovato è il teorema di convergenza dominata. Che non saprei se sia la stessa cosa... qualcuno può illuminarmi?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.. Grazie
si tratta di di una successione di funzioni
$\sum_(n=1)^(+oo) (2^n + (-8)^n)/(n^2) * (x + 1/2)^n$
A questo punto devo calcolarmi il relativo limite(per ricavare il raggio di convergenza):
$lim_(n-> +oo) |(2^(n+1) + (-8) ^ (n+1))/((n^2)+1)|*|(n^2)/(2^n+(-8)^n)|$
Purtroppo non ho ben chiara la risoluzione di questi limiti... in un post precedente mi è stata indicata la traccia di una soluzione... ma... il prof a me ha indicato che lo si risolve attraverso un limite notevole... lui ha fatto cenno di "dominante", riferendosi in particolare all'8. (infatti il risultato del limite sarebbe 8)
Ora ho cercato e ricercato ma l'unica cosa che ho trovato è il teorema di convergenza dominata. Che non saprei se sia la stessa cosa... qualcuno può illuminarmi?
Spero di essere stato abbastanza chiaro.. Grazie
Risposte
Il teorema della convergenza dominata non c'entra nulla.
Quello che voleva dire il prof. era probabilmente che tra $2^n$ e $(-8)^n$ "vince" il secondo. Cio' si vede mettendo in evidenza questo termine
("dominante"), per cui si passa a:
$\frac{8^{n+1}}{8^n}|\frac{(-1)^{n+1}(1/4)^{n+1}+1}{(-1)^{n}(1/4)^{n}+1}|\frac{n^2}{(n+1)^2}$
Semplificando il primo fattore e notando che $1/4^n\to0$ vedi facilmente che la quantita' sopra tende a $8$
Quello che voleva dire il prof. era probabilmente che tra $2^n$ e $(-8)^n$ "vince" il secondo. Cio' si vede mettendo in evidenza questo termine
("dominante"), per cui si passa a:
$\frac{8^{n+1}}{8^n}|\frac{(-1)^{n+1}(1/4)^{n+1}+1}{(-1)^{n}(1/4)^{n}+1}|\frac{n^2}{(n+1)^2}$
Semplificando il primo fattore e notando che $1/4^n\to0$ vedi facilmente che la quantita' sopra tende a $8$
Ah... claro... grandissimo... (ti devo un caffè!!! )
Un ultima cosa... Mi sapete dire quando poi vado ad eseguire lo studio degli estremi di convergenza, dati da (x0- r) , (x0+r)
e sostituisco gli estremi all'interno della successione...
Quale regola, o che criterio dovrei adottare per scoprire se questa converge o meno??
)Un ultima cosa... Mi sapete dire quando poi vado ad eseguire lo studio degli estremi di convergenza, dati da (x0- r) , (x0+r)
e sostituisco gli estremi all'interno della successione...
Quale regola, o che criterio dovrei adottare per scoprire se questa converge o meno??
"homer.simpson":
Ah... claro... grandissimo... (ti devo un caffè!!!
Un ultima cosa... Mi sapete dire quando poi vado ad eseguire lo studio degli estremi di convergenza, dati da (x0- r) , (x0+r)
e sostituisco gli estremi all'interno della successione...
Quale regola, o che criterio dovrei adottare per scoprire se questa converge o meno??
Non c'e' un criterio universale bisogna guardare cosa succede caso per caso (normalmente bisognera' usare il criterio delconfronto/confronto asintotico con una serie nota
- tipicamente capita di dover confrontare con la serie armonica generalizzata $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$, dove $alpha$ va scelto a seconda dei casi)
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