Limite senza usare Taylor
Ciao ragazzi, non capisco come risolvere questo limite senza ricorrere alla formula di Taylor:
$(ln(1+xarctgx)-e^(x^2)+1)/(sqrt(1+2x^4)-1)$
Io ho provato a razionalizzare e usare i limiti notevoli del logaritmo e della funzione esponenziale, tuttavia non riesco ad uscire dalla forma indeterminata $0/0$.
Grazie in anticipo.
$(ln(1+xarctgx)-e^(x^2)+1)/(sqrt(1+2x^4)-1)$
Io ho provato a razionalizzare e usare i limiti notevoli del logaritmo e della funzione esponenziale, tuttavia non riesco ad uscire dalla forma indeterminata $0/0$.
Grazie in anticipo.
Risposte
Devi usare Taylor per forza. A numeratore, se ti accontenti dei limiti notevoli (e quindi il confronto al primo ordine, ottieni $x^2-x^2=0$ che è palesemente non accettabile.
"ciampax":
Devi usare Taylor per forza. A numeratore, se ti accontenti dei limiti notevoli (e quindi il confronto al primo ordine, ottieni $x^2-x^2=0$ che è palesemente non accettabile.
Ciao, ho provato a rifarlo cercando di usare Taylor. Ho visto che lo sviluppo del logaritmo, in generale, è:
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+ ...$
Ora, $xarctgx$ è una quantità infinitesima quindi lo sviluppo dovrebbe essere:
$log(1+xarctgx)=xarctgx-(xarctgx)^2/2+(xarctgx)^3/3-(xarctgx)^4/4+ ...$
Ma l'intuito mi dice che sto sbagliando. Come ricavo lo sviluppo corretto?
Quando svolgi questo limite c'è un "trucco". Per prima cosa, guarda l'ordine del termine più facile, in questo caso il denominatore: dagli sviluppi notevoli, ti accorgerai che puoi semplicemente scrivere $\sqrt{1+2x^4}-1=x^4+o(x^4)$. Questo suggerisce che per lavorare al numeratore devi arrivare allo sviluppo fino al quarto ordine. Ora, è immediato vedere che
$$-e^{x^2}+1=-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)$$
Poiché
$$x\arctan x=x\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$$
per il logaritmo, come stavi facendo, dovresti calcolare varie potenze di tale termine (nota che ho lasciato solo le potenze "utili" visto che voglio arrestare il tutto al quarto ordine). Da ciò che hai scritto nell'ultima riga, possiamo dedurre che
$$\log(1+x\arctan x)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-\frac{1}{2} x^4+o(x^2)=x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)$$
questo perché, il primo termine è elevato alla uno, e quindi metto tutto, nel secondo c'è un quadrato e quindi mi basta lasciare solo il quadrato di $x^2$ (le altre potenze avrebbero grado maggiore) e infine tutti gli altri termine hanno potenze da $3$ a salire, e quindi la potenza minima che troverei della $x$ è $x^6$ che al fine dello sviluppo arrestato al quarto ordine non mi interessa. In definitiva, il limite diventa
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)}{x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{4}{3} x^4}{x^4}=-\frac{4}{3}$$
$$-e^{x^2}+1=-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)$$
Poiché
$$x\arctan x=x\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$$
per il logaritmo, come stavi facendo, dovresti calcolare varie potenze di tale termine (nota che ho lasciato solo le potenze "utili" visto che voglio arrestare il tutto al quarto ordine). Da ciò che hai scritto nell'ultima riga, possiamo dedurre che
$$\log(1+x\arctan x)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-\frac{1}{2} x^4+o(x^2)=x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)$$
questo perché, il primo termine è elevato alla uno, e quindi metto tutto, nel secondo c'è un quadrato e quindi mi basta lasciare solo il quadrato di $x^2$ (le altre potenze avrebbero grado maggiore) e infine tutti gli altri termine hanno potenze da $3$ a salire, e quindi la potenza minima che troverei della $x$ è $x^6$ che al fine dello sviluppo arrestato al quarto ordine non mi interessa. In definitiva, il limite diventa
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)}{x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{4}{3} x^4}{x^4}=-\frac{4}{3}$$
"ciampax":
Quando svolgi questo limite c'è un "trucco". Per prima cosa, guarda l'ordine del termine più facile, in questo caso il denominatore: dagli sviluppi notevoli, ti accorgerai che puoi semplicemente scrivere $\sqrt{1+2x^4}-1=x^4+o(x^4)$. Questo suggerisce che per lavorare al numeratore devi arrivare allo sviluppo fino al quarto ordine. Ora, è immediato vedere che
$$-e^{x^2}+1=-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)$$
Poiché
$$x\arctan x=x\left(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$$
per il logaritmo, come stavi facendo, dovresti calcolare varie potenze di tale termine (nota che ho lasciato solo le potenze "utili" visto che voglio arrestare il tutto al quarto ordine). Da ciò che hai scritto nell'ultima riga, possiamo dedurre che
$$\log(1+x\arctan x)=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)-\frac{1}{2} x^4+o(x^2)=x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)$$
questo perché, il primo termine è elevato alla uno, e quindi metto tutto, nel secondo c'è un quadrato e quindi mi basta lasciare solo il quadrato di $x^2$ (le altre potenze avrebbero grado maggiore) e infine tutti gli altri termine hanno potenze da $3$ a salire, e quindi la potenza minima che troverei della $x$ è $x^6$ che al fine dello sviluppo arrestato al quarto ordine non mi interessa. In definitiva, il limite diventa
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\frac{5}{6} x^4+o(x^4)-x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)}{x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{4}{3} x^4}{x^4}=-\frac{4}{3}$$
Grazie davvero. Non ho molta dimestichezza con le formule di Taylor in quanto il nostro professore quasi ci proibisce di utilizzarle, ma sei stato chiarissimo.
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