Limite senza De L'Hopital
Buonasera ragazzi, vi scrivo per chiedere un aiuto su come risolvere questo limite senza usare De L'Hopital.
Il limite in questione è : \(\displaystyle \lim x \rightarrow \) \(\displaystyle 0 \) di \(\displaystyle (e^{(-|x|)})*(x^2+4x) \)
Ringrazio in anticipo!
Il limite in questione è : \(\displaystyle \lim x \rightarrow \) \(\displaystyle 0 \) di \(\displaystyle (e^{(-|x|)})*(x^2+4x) \)
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Se il limite è $lim_(x->0)(x^2+4x)e^(-|x|)$ è il prodotto di due funzioni continue in $0$ quindi non capisco dove sia Il problema
Ciao luca66,
anto_zoolander ha ragione, il limite proposto non presenta alcuna forma indeterminata. Ti dirò di più, il limite risulterebbe $0$ anche nel caso in cui fosse $x \to \pm \infty $, cioè si ha:
$lim_{x \to pm \infty} (x^2 + 4x) e^{-|x|} = 0 $
anto_zoolander ha ragione, il limite proposto non presenta alcuna forma indeterminata. Ti dirò di più, il limite risulterebbe $0$ anche nel caso in cui fosse $x \to \pm \infty $, cioè si ha:
$lim_{x \to pm \infty} (x^2 + 4x) e^{-|x|} = 0 $
Giusto per completezza:
Non puoi usare de l'hopital a prescindere.
Se la forma non è indeterminata, allora il risultato dopo aver applicato de l'hopital è in generale sbagliato.
Non puoi usare de l'hopital a prescindere.
Se la forma non è indeterminata, allora il risultato dopo aver applicato de l'hopital è in generale sbagliato.
E per completare la completezza dell'utente precedente 
Puoi usare questo metodo solo nel caso $0/0$ o $oo/(oo)$ le altre cose tipo $oo -oo$ , $0*oo$ ecc non sono contemplate.Al massimo puoi provare a ricondurti a queste grazie passaggi algebrici
Puoi usare questo metodo solo nel caso $0/0$ o $oo/(oo)$ le altre cose tipo $oo -oo$ , $0*oo$ ecc non sono contemplate.Al massimo puoi provare a ricondurti a queste grazie passaggi algebrici
Scusate ragazzi era il limite che tende a + INFINITO!
"pilloeffe":
Ciao luca66,
anto_zoolander ha ragione, il limite proposto non presenta alcuna forma indeterminata. Ti dirò di più, il limite risulterebbe $0$ anche nel caso in cui fosse $x \to \pm \infty $, cioè si ha:
$lim_{x \to pm \infty} (x^2 + 4x) e^{-|x|} = 0 $
Eh ma scusa a me viene fuori 0* + infinito con x -> infinito
Sì ma, come dovresti sapere, nella "corsa" (all'infinito in questo caso) tra un polinomio ed un esponenziale non c'è partita: "vince" sempre l'esponenziale... 
I problemi sono due:
1) Come glie lo spiego al prof ? Non posso assolutamente rispondere in questo modo, quale è il modo rigoroso per risolvere questo limite?
2) qui non corrono entrambe ad infinito anzi il termine con "e" tende a 0 ( però immagino che il discorso sia analogo)
Il dilemma principale è il primo punto!
1) Come glie lo spiego al prof ? Non posso assolutamente rispondere in questo modo, quale è il modo rigoroso per risolvere questo limite?
2) qui non corrono entrambe ad infinito anzi il termine con "e" tende a 0 ( però immagino che il discorso sia analogo)
Il dilemma principale è il primo punto!
"luca66":
I problemi sono due:
1) Come glie lo spiego al prof ? Non posso assolutamente rispondere in questo modo, quale è il modo rigoroso per risolvere questo limite?
2) qui non corrono entrambe ad infinito anzi il termine con "e" tende a 0 ( però immagino che il discorso sia analogo)
Il dilemma principale è il primo punto!
Il fatto della "gara" a chi va' prima a infinito si spiega con gli ordini di infinito. Dovrebbe proprio essere argomento di analisi 1.
Ci sono diversi modi di dimostrare che si ha:
$lim_{x \to +infty} x^n e^{- x} = lim_{x \to +infty} frac{x^n}{e^ x} = 0 \qquad \AA n \in \ZZ $
Te ne propongo uno che non si basa sugli ordini di infinito, ma ti raccomanderei di dare un'occhiata al tuo libro di testo, perché probabilmente è quella la dimostrazione che vorrà sentirsi dire il tuo professore all'esame...
Comunque si ha:
$0 < e^x = sum_{k = 0}^{+\infty} frac{x^k}{k!} > frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \implies 0 < e^{- x} < frac{(n + 1)!}{x^{n + 1}} \implies 0 < x^n e^{- x} < frac{(n + 1)!}{x} $
Passando al limite per $x \to +\infty $ si ha l'asserto.
$lim_{x \to +infty} x^n e^{- x} = lim_{x \to +infty} frac{x^n}{e^ x} = 0 \qquad \AA n \in \ZZ $
Te ne propongo uno che non si basa sugli ordini di infinito, ma ti raccomanderei di dare un'occhiata al tuo libro di testo, perché probabilmente è quella la dimostrazione che vorrà sentirsi dire il tuo professore all'esame...
Comunque si ha:
$0 < e^x = sum_{k = 0}^{+\infty} frac{x^k}{k!} > frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \implies 0 < e^{- x} < frac{(n + 1)!}{x^{n + 1}} \implies 0 < x^n e^{- x} < frac{(n + 1)!}{x} $
Passando al limite per $x \to +\infty $ si ha l'asserto.
Potete chiudere il post. Vi ringrazio per la pazienza. Siete stati chiarissimi e gentilissimi. Buonaserata!
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