Limite semplice

[salvatoresambito]

Salve ragazzi ,non riesco a risolvere questo limite :
$ lim_(x -> +oo) e^(1-sqrtx)(1+1/sqrtx)^x $
Procedo applicando il limite notevole :
$ lim_(x -> +oo) e^(1-sqrtx)((1+1/sqrtx)^sqrtx)^sqrtx $ e ottengo
$ lim_(x -> +oo) e^(1-sqrtx)e^sqrtx $
dunque il risultato è $e$
Sbagliato, il risultato non è quello , non capisco dove sbaglio, probabilmente il mio errore sta nel sostituire la$ e $ prima di fare il limite e quindi si ingarbuglia tutto.Chiarimenti?grazie

[Mephlip]

Sì, non si passa al limite "a pezzi", quello è sicuramente sbagliato e ti porta a conclusioni sbagliate.
Prova a scrivere $\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x=e^{x \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ e prova a sviluppare il logaritmo con Taylor.

[salvatoresambito]

"Mephlip":Sì, non si passa al limite "a pezzi", quello è sicuramente sbagliato e ti porta a conclusioni sbagliate.
Prova a scrivere $\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x=e^{x \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ e prova a sviluppare il logaritmo con Taylor.

Fatto già , ma ottengo sempre e

[Mephlip]

C'è qualche errore di conto oppure ti sei fermato troppo presto nello sviluppo, posta i passaggi per favore.

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

"Salvy":dunque il risultato è $e $
Sbagliato, il risultato non è quello, non capisco dove sbaglio, probabilmente il mio errore sta nel sostituire la $e $ prima di fare il limite e quindi si ingarbuglia tutto.

Esatto...
Il risultato corretto è $sqrt{e} $. Se accogli il suggerimento che ti ha già dato Mephlip, non ti resta che dimostrare che si ha:

$\lim_{x \to +\infty} [1 - \sqrt{x} + x ln(1 + 1/sqrt{x})] = 1/2 $

[salvatoresambito]

Grazie mille, mi è venuto