Limite rognoso

[fireball1]

Potete aiutarmi a calcolare
il seguente limite? Ho provato
a fare il possibile, ma proprio non
so dove mettere le mani...
De L'Hopital non funziona...

[alastor1]

quote:

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Originally posted by fireball

Potete aiutarmi a calcolare
il seguente limite? Ho provato
a fare il possibile, ma proprio non
so dove mettere le mani...
De L'Hopital non funziona...

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[ln(2^x + (x^2)sin(1/x))]=
{ln(2^x)+ln[1 + (x^2)*2^(-x)*sin(1/x)]}/x=
ln2+ln[1 + (x^2)*2^(-x)*sin(1/x)]/x
sviluppo di taylor al primo ordine sul logaritmo
ln2+ [(x^2)*2^(-x)*sin(1/x)]/x
ln2+x*2^(-x)*sin(1/x)
ln2+2^(-x)*(x*sin(1/x))

il secondo addendo tende a 0
hai vinto, ln2

lo avevo fatto anche con il th del confronto, ma c'è il fatto che il seno oscilla di segno che mi crea problemi a maggiorare, frose metto un po' di moduli, non saprei

[alastor1]

in generale de hopital non serve a nulla, quando hai a che fare con le funzioni trigonometriche e/o esponenziali di argomento complicato peggiori solo le cose

[fireball1]

Pensavo ci fossero altri metodi
oltre a Taylor (che ancora non ho studiato).
Grazie mille comunque, Enzo! [;)]

[Sk_Anonymous]

Non serve Taylor; se non lo hai ancora studiato lo puoi fare facilmente cosi': sia a(x) l'argomento del logaritmo al numeratore. Allora a(x)=1+(a(x)-1). Quindi il numeratore e' asintotico a a(x)-1, per un noto limite notevole. Ora spezzi la frazione, e ti viene il limite di (2^x-1)/x+x sen(1/x). Il primo addendo va a log2, il secondo va a zero.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[alastor1]

io gli sviluppi al primo ordine (o asindotici) non li avevo fatti al liceo :/

[Sk_Anonymous]

Non sono sviluppi del primo ordine, sono confronti asintotici, infatti come vedi non ho messo o(...), come invece avresti dovuto mettere tu che hai usato gli sviluppi di Taylor.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Sk_Anonymous]

Ha ragione Alastor

[Sk_Anonymous]

Il risultato del suo calcolo e' corretto, ma non e' del tutto corretta la procedura utilizzata: se uno usa gli sviluppi di Taylor non puo' trascurare del tutto o(x^n), e non vedo da nessuna parte scritti gli o(x^n).

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Ho ottenuto un risultato analogo a L.Lussardi.
-1<=sin(1/x)<=1 per ogni x diverso da zero -->
2^x - x^2 <= 2^x + x^2*sin(1/x) <= 2^x + x^2 per ogni x>0 ;
poichè il logaritmo è crescente in (0,+inf) :
ln(2^x - x^2)/x <= ln(2^x + x^2*sin(1/x))/x <= ln(2^x + x^2)/x ;
lim [ln(2^x - x^2)/x] =
x->0+
(Uso l'Hopital)
lim [(2^x*ln(2) - 2x)/(2^x - x^2)] = ln(2)
x->0+
Analogamente si procede per l'altro limite, ottenendo:
lim [(2^x*ln(2) + 2x)/(2^x + x^2)] = ln(2)
x->0+
Per il teorema dei carabinieri il limite iniziale vale ln(2).