[Limite] Risoluzioni diverse e piccolo dubbio
Salve ancora,
Continuando nello studio, mi sono imbattuto nel seguente limite:
$lim_(x -> +oo) ln(e^x+1)/(sqrt(x)+1)$ ,
che ho risolto ragionando in questa maniera:
- per $x -> +oo$, $e^x+1 -> e^x$, pertanto il numeratore tende a $ln(e^x) = x*ln(e) = x$ [1]
- sempre per $x -> +oo$, il denominatore tende a $sqrt(x)$
Pertanto il limite dato è equivalente al seguente:
$lim_(x -> +oo) x/sqrt(x) = lim_(x -> +oo) sqrt(x) = +oo$
Guardando la soluzione, noto che è stato applicato un artificio, anche se per dire sostanzialmente la stessa cosa. Questo è stato il procedimento:
per il numeratore:
$ln(e^x + 1) = ln(e^x(1 + e^(-x)))$
$= ln (e^x) + ln(1 + e^(-x))$
$= x + ln(1 + e^(-x))$
$~= x$
per il denominatore il procedimento è stato lo stesso ed il limite si è ridotto a ciò che l'avevo ridotto io, rivelandosi uguale a $+oo$.
Ora, a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di fare una cosa simile, lo trovo anche più macchinoso, meno immediato di come l'ho svolto io.
Ragionandoci un po' su penso che i due procedimenti si equivalgano anche nel senso del rigore matematico oltre che nel risultato... dopotutto anche io ho ragionato utilizzando le equivalenze asintotiche.
Non vorrei però che mi sfugga qualcosa, o magari questo si tratti di un caso particolare o che abbia dato per scontato qualche cosa... insomma, non vorrei che il fatto che io ci stia finalmente capendo qualcosa sia "troppo bello per essere vero"
[1]EDIT: Mi accorgo ora che probabilmente sarebbe più corretto dire $e^x+1 ~= e^x$ e che il numeratore è equivalente asintoticamente ad $x$ anziché dire che tende ad $x$. Confermate oppure va bene lo stesso?
Continuando nello studio, mi sono imbattuto nel seguente limite:
$lim_(x -> +oo) ln(e^x+1)/(sqrt(x)+1)$ ,
che ho risolto ragionando in questa maniera:
- per $x -> +oo$, $e^x+1 -> e^x$, pertanto il numeratore tende a $ln(e^x) = x*ln(e) = x$ [1]
- sempre per $x -> +oo$, il denominatore tende a $sqrt(x)$
Pertanto il limite dato è equivalente al seguente:
$lim_(x -> +oo) x/sqrt(x) = lim_(x -> +oo) sqrt(x) = +oo$
Guardando la soluzione, noto che è stato applicato un artificio, anche se per dire sostanzialmente la stessa cosa. Questo è stato il procedimento:
per il numeratore:
$ln(e^x + 1) = ln(e^x(1 + e^(-x)))$
$= ln (e^x) + ln(1 + e^(-x))$
$= x + ln(1 + e^(-x))$
$~= x$
per il denominatore il procedimento è stato lo stesso ed il limite si è ridotto a ciò che l'avevo ridotto io, rivelandosi uguale a $+oo$.
Ora, a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di fare una cosa simile, lo trovo anche più macchinoso, meno immediato di come l'ho svolto io.
Ragionandoci un po' su penso che i due procedimenti si equivalgano anche nel senso del rigore matematico oltre che nel risultato... dopotutto anche io ho ragionato utilizzando le equivalenze asintotiche.
Non vorrei però che mi sfugga qualcosa, o magari questo si tratti di un caso particolare o che abbia dato per scontato qualche cosa... insomma, non vorrei che il fatto che io ci stia finalmente capendo qualcosa sia "troppo bello per essere vero"
[1]EDIT: Mi accorgo ora che probabilmente sarebbe più corretto dire $e^x+1 ~= e^x$ e che il numeratore è equivalente asintoticamente ad $x$ anziché dire che tende ad $x$. Confermate oppure va bene lo stesso?
Risposte
Prima di tutto ti incoraggio a porti questi dubbi - mi sembra un' ottimo modo di porsi di fronte ai problemi. In particolare riguardo a [1], è scorretto dire che $\ln(1+e^x)$ tende a $x$
(mi si attorcigliano le budella ogni volta che lo vedo
). $ln(1+e^x)$ TENDE a $+infty$. Il limite è un'operazione che a una funzione (anche se non a tutte) associa un numero (o $\pm\infty$). Quello che vuoi esprimere tu, cioè che $ln(1+e^x)$ va all'infinito "all'incirca come" $x$ è altra cosa dal limite, e va precisato se si vuole utilizzarlo.
Date due funzioni $f$ e $g$ cosa vuol dire che "vanno all'infinito allo stesso modo" ? Il modo più tradizionalmente accettato di dare una nozione del genere è di dire che $f$ e $g$ sono asintotiche se il limite del loro rapporto fa uno: $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ (sto considerando $x\to+\infty$ ma potrei parlare di $x\to x_0$ per un qualunque $x_0$).
Con questa definizione $ln(1+e^x)$ e $x$ sono asintotiche (va verificato - ma lo vediamo dopo).
Questa definizione non è comunque un toccasana universale - non è vero che due funzioni asintotiche sono sempre "intercambiabili" - per esempio se $f$ e $g$ sono asintotiche
non è detto che $\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)=0$ (come risulterebbe se tu potessi sempre sostituire $g$ con $f$ ogni volta che la trovi). Per vederlo puoi prendere $f(x)=x^2$ e $g(x)=x^2+x$, allora:
$\lim_{x\to+\infty}f(x)/g(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2(1+1/x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+1/x}=1$, MA $=\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)==\lim_{x\to+\infty}-x=-\infty$.
La morale è che i ragionamenti che hai fatto per risolvere il limite sono scorretti, per quanto ispirati a un'idea giusta (che in questo caso funziona). Se tu applicassi il tuo metodo al limite
$\lim_{x\to+\infty}e^x(\ln(1+e^x)-x)$
cosa troveresti? E se fosse
$\lim_{x\to+\infty}e^x(\ln(x+e^x)-x)$ ?
In realtà il metodo che hai trovato nelle soluzioni (l'artificio ...) è l'unico giusto. Anche per dimostrare che $\ln(1+e^x)$ è asintotico a $e^x$ non vedo altra strada che fare
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^x(e^{-x}+1))}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln(e^{-x}+1)}{x}=\lim_{x\to+\infty} (1+\frac{\ln(e^{-x}+1)}{x})=1$
(a meno di non ricorrere a teoremi più avanzati, tipo de l'Hospital, che in presenza di un argomento elementare mi sembrano fuori luogo).
[*] si potrebbero considerare altre definizioni, per esempio chiedere che il limite della differenza faccia zero (nozione più forte della precedente se si parla di infiniti) , ma nessuna risolverebbe OGNI problema.
(mi si attorcigliano le budella ogni volta che lo vedo
). $ln(1+e^x)$ TENDE a $+infty$. Il limite è un'operazione che a una funzione (anche se non a tutte) associa un numero (o $\pm\infty$). Quello che vuoi esprimere tu, cioè che $ln(1+e^x)$ va all'infinito "all'incirca come" $x$ è altra cosa dal limite, e va precisato se si vuole utilizzarlo.Date due funzioni $f$ e $g$ cosa vuol dire che "vanno all'infinito allo stesso modo" ? Il modo più tradizionalmente accettato di dare una nozione del genere è di dire che $f$ e $g$ sono asintotiche se il limite del loro rapporto fa uno: $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ (sto considerando $x\to+\infty$ ma potrei parlare di $x\to x_0$ per un qualunque $x_0$).
Con questa definizione $ln(1+e^x)$ e $x$ sono asintotiche (va verificato - ma lo vediamo dopo).
Questa definizione non è comunque un toccasana universale - non è vero che due funzioni asintotiche sono sempre "intercambiabili" - per esempio se $f$ e $g$ sono asintotiche
non è detto che $\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)=0$ (come risulterebbe se tu potessi sempre sostituire $g$ con $f$ ogni volta che la trovi). Per vederlo puoi prendere $f(x)=x^2$ e $g(x)=x^2+x$, allora:
$\lim_{x\to+\infty}f(x)/g(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2(1+1/x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+1/x}=1$, MA $=\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)==\lim_{x\to+\infty}-x=-\infty$.
La morale è che i ragionamenti che hai fatto per risolvere il limite sono scorretti, per quanto ispirati a un'idea giusta (che in questo caso funziona). Se tu applicassi il tuo metodo al limite
$\lim_{x\to+\infty}e^x(\ln(1+e^x)-x)$
cosa troveresti? E se fosse
$\lim_{x\to+\infty}e^x(\ln(x+e^x)-x)$ ?
In realtà il metodo che hai trovato nelle soluzioni (l'artificio ...) è l'unico giusto. Anche per dimostrare che $\ln(1+e^x)$ è asintotico a $e^x$ non vedo altra strada che fare
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^x(e^{-x}+1))}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln(e^{-x}+1)}{x}=\lim_{x\to+\infty} (1+\frac{\ln(e^{-x}+1)}{x})=1$
(a meno di non ricorrere a teoremi più avanzati, tipo de l'Hospital, che in presenza di un argomento elementare mi sembrano fuori luogo).
[*] si potrebbero considerare altre definizioni, per esempio chiedere che il limite della differenza faccia zero (nozione più forte della precedente se si parla di infiniti) , ma nessuna risolverebbe OGNI problema.
Ciao ViciousGoblin,
Intanto grazie per la risposta esauriente e per il tuo tempo. Ma forse ci sono... andiamo per gradi:
Grazie del chiarimento. Mi rendo conto che intendevo dire che $\ln(1+e^x) -> x$ per $x->+oo$, ovvero che al tendere di x a $+oo$, le due funzioni "tendono" ad essere uguali, ad "avvicinarsi sempre più". A volte il linguaggio naturale (vedi verbo tendere) fa brutti scherzi, ho detto in modo sbagliato che le due funzioni sono asintotiche, ma in effetti come hai detto per $x->+oo$ $\ln(1+e^x) $ non può che tendere a $+oo$.
Ora che me lo hai fatto notare spero di non commettere questo stesso errore in un eventuale orale!
Capisco, ma se è "più forte", e quindi "più restrittiva", allora come può essere una definizione? Lascerebbe fuori alcune funzioni tali che (per $x->x_0$) il limite del loro rapporto è 1, quindi asintotiche secondo la precedente ed evidentemente "più blanda" definizione.
Non sarebbe meglio dire che $lim_(x->x_0)(f(x)-g(x))=0 rArr lim_(x->x_0)f(x)/g(x) = 1$, evitando conflitti con precedenti definizioni?
Lo dico per capire meglio, perché a me parrebbero due definizioni distinte, un po' come dire (passatemi il formalismo un po' alla carlona
):
A) "Un numero è pari se si può scrivere come 2n"
B) "Un numero è pari se si può scrivere come 4n"
$B rArr A$, ma se le prendiamo come definizioni sono chiaramente distinte, no?
Rischio di fare confusione altrimenti..!
Ok, allora a quanto pare la definizione che dobbiamo prendere per buona è quella che conoscevo, ovvero che due funzioni sono asintotiche se il limite del loro rapporto è 1.
Mi pare quindi che con questo tu stia dicendo che l'equivalenza asintotica in genere non si conserva nella somma. Questo però lo sapevo già, tuttavia c'è almeno un caso particolare in cui si conserva, ovvero:
se
$f(x) ~= c_1x^p_1$,
$g(x) ~= c_2x^p_2$ con $c_1x^p_1 + c_2x^p_2 != 0$,
allora
$f(x) + (gx) ~= c_1x^p_1 + c_2x^p_2$
Nel controesempio da te citato, per $x->+oo$ $f(x) ~= x^2$ e $-g(x) ~= -x^2$.
Tuttavia $x^2 - x^2 = 0$, pertanto non possiamo dire niente a priori su $f(x) + (-g(x)) $.
Quindi non reputo le funzioni "sempre intercambiabili". Tuttavia limitatamente a quell'esercizio mi sembrava di aver fatto dei ragionamenti corretti.
Provo a ripetermi ora, magari in maniera più rigorosa, chissà che dopo essermici sbattuto per qualche ora non abbia le idee più chiare:
Questo il limite da calcolare:
$lim_(x -> +oo) ln(e^x+1)/(sqrt(x)+1)$
Questi i passi del mio ragionamento:
per $x->+oo$, $e^x+1 ~= e^x$, in quanto $lim_(x->+oo) (e^x+1)/e^x = 1$
QUESTO E' IL PASSAGGIO CRUCIALE: dopo aver mostrato che $e^x+1 ~= e^x$, posso affermare che $ln(e^x+1) ~= ln(e^x)$?
Non vedo perché no, sia perché (intuitivamente e informalmente) in entrambi i casi l'argomento del logaritmo tende ad infinito "all'incirca allo stesso modo" ( ), sia (soprattutto) perché, formalmente, l'equivalenza asintotica si conserva nella composizione di funzioni, o meglio:
se $f(x) -> t_0$ per $x->x_0$
e $g(t) ~= h(t)$ per $t->t_0$,
allora $g(f(x)) ~= h(f(x))$ per $x->x_0$.
In questo caso abbiamo:
$f(x)=e^x -> +oo$ per $x->+oo$,
$g(t)=ln(t+1) ~= h(t)=ln(t)$,
pertanto $g(f(x))=ln(e^x+1) ~= h(f(x))=ln(e^x)$.
Banalmente, poiché $ln(e^x) = x$, ho dimostrato che $ln(e^x+1) ~= x$.
Il resto dell'esercizio ovviamente non subisce cambiamenti.
Le mie domande a questo punto sono:
a) Adesso il ragionamento è corretto?
b) E' abbastanza rigoroso?
A me sembra di sì, avendo dimostrato ogni singolo passaggio. Se ci sono errori vi prego di illuminarmi!
Intanto grazie per la risposta esauriente e per il tuo tempo. Ma forse ci sono... andiamo per gradi:
"ViciousGoblin":
Prima di tutto ti incoraggio a porti questi dubbi - mi sembra un' ottimo modo di porsi di fronte ai problemi. In particolare riguardo a [1], è scorretto dire che $\ln(1+e^x)$ tende a $x$
(mi si attorcigliano le budella ogni volta che lo vedo
Grazie del chiarimento. Mi rendo conto che intendevo dire che $\ln(1+e^x) -> x$ per $x->+oo$, ovvero che al tendere di x a $+oo$, le due funzioni "tendono" ad essere uguali, ad "avvicinarsi sempre più". A volte il linguaggio naturale (vedi verbo tendere) fa brutti scherzi, ho detto in modo sbagliato che le due funzioni sono asintotiche, ma in effetti come hai detto per $x->+oo$ $\ln(1+e^x) $ non può che tendere a $+oo$.
Ora che me lo hai fatto notare spero di non commettere questo stesso errore in un eventuale orale!
Date due funzioni $f$ e $g$ cosa vuol dire che "vanno all'infinito allo stesso modo" ? Il modo più tradizionalmente accettato di dare una nozione del genere è di dire che $f$ e $g$ sono asintotiche se il limite del loro rapporto fa uno: $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ (sto considerando $x\to+\infty$ ma potrei parlare di $x\to x_0$ per un qualunque $x_0$).
[...]
si potrebbero considerare altre definizioni, per esempio chiedere che il limite della differenza faccia zero (nozione più forte della precedente se si parla di infiniti)
Capisco, ma se è "più forte", e quindi "più restrittiva", allora come può essere una definizione? Lascerebbe fuori alcune funzioni tali che (per $x->x_0$) il limite del loro rapporto è 1, quindi asintotiche secondo la precedente ed evidentemente "più blanda" definizione.
Non sarebbe meglio dire che $lim_(x->x_0)(f(x)-g(x))=0 rArr lim_(x->x_0)f(x)/g(x) = 1$, evitando conflitti con precedenti definizioni?
Lo dico per capire meglio, perché a me parrebbero due definizioni distinte, un po' come dire (passatemi il formalismo un po' alla carlona
):A) "Un numero è pari se si può scrivere come 2n"
B) "Un numero è pari se si può scrivere come 4n"
$B rArr A$, ma se le prendiamo come definizioni sono chiaramente distinte, no?
Rischio di fare confusione altrimenti..!
Questa definizione non è comunque un toccasana universale - non è vero che due funzioni asintotiche sono sempre "intercambiabili" - per esempio se $f$ e $g$ sono asintotiche
non è detto che $\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)=0$ (come risulterebbe se tu potessi sempre sostituire $g$ con $f$ ogni volta che la trovi). Per vederlo puoi prendere $f(x)=x^2$ e $g(x)=x^2+x$, allora:
$\lim_{x\to+\infty}f(x)/g(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2(1+1/x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+1/x}=1$, MA $=\lim_{x\to+\infty}f(x)-g(x)==\lim_{x\to+\infty}-x=-\infty$.
Ok, allora a quanto pare la definizione che dobbiamo prendere per buona è quella che conoscevo, ovvero che due funzioni sono asintotiche se il limite del loro rapporto è 1.
Mi pare quindi che con questo tu stia dicendo che l'equivalenza asintotica in genere non si conserva nella somma. Questo però lo sapevo già, tuttavia c'è almeno un caso particolare in cui si conserva, ovvero:
se
$f(x) ~= c_1x^p_1$,
$g(x) ~= c_2x^p_2$ con $c_1x^p_1 + c_2x^p_2 != 0$,
allora
$f(x) + (gx) ~= c_1x^p_1 + c_2x^p_2$
Nel controesempio da te citato, per $x->+oo$ $f(x) ~= x^2$ e $-g(x) ~= -x^2$.
Tuttavia $x^2 - x^2 = 0$, pertanto non possiamo dire niente a priori su $f(x) + (-g(x)) $.
Quindi non reputo le funzioni "sempre intercambiabili". Tuttavia limitatamente a quell'esercizio mi sembrava di aver fatto dei ragionamenti corretti.
Provo a ripetermi ora, magari in maniera più rigorosa, chissà che dopo essermici sbattuto per qualche ora non abbia le idee più chiare:
Questo il limite da calcolare:
$lim_(x -> +oo) ln(e^x+1)/(sqrt(x)+1)$
Questi i passi del mio ragionamento:
per $x->+oo$, $e^x+1 ~= e^x$, in quanto $lim_(x->+oo) (e^x+1)/e^x = 1$
QUESTO E' IL PASSAGGIO CRUCIALE: dopo aver mostrato che $e^x+1 ~= e^x$, posso affermare che $ln(e^x+1) ~= ln(e^x)$?
Non vedo perché no, sia perché (intuitivamente e informalmente) in entrambi i casi l'argomento del logaritmo tende ad infinito "all'incirca allo stesso modo" (
), sia (soprattutto) perché, formalmente, l'equivalenza asintotica si conserva nella composizione di funzioni, o meglio:se $f(x) -> t_0$ per $x->x_0$
e $g(t) ~= h(t)$ per $t->t_0$,
allora $g(f(x)) ~= h(f(x))$ per $x->x_0$.
In questo caso abbiamo:
$f(x)=e^x -> +oo$ per $x->+oo$,
$g(t)=ln(t+1) ~= h(t)=ln(t)$,
pertanto $g(f(x))=ln(e^x+1) ~= h(f(x))=ln(e^x)$.
Banalmente, poiché $ln(e^x) = x$, ho dimostrato che $ln(e^x+1) ~= x$.
Il resto dell'esercizio ovviamente non subisce cambiamenti.
Le mie domande a questo punto sono:
a) Adesso il ragionamento è corretto?
b) E' abbastanza rigoroso?
A me sembra di sì, avendo dimostrato ogni singolo passaggio. Se ci sono errori vi prego di illuminarmi!
Caro cappellaio, a dispetto del tuo nick 
mi pare che ragioni abbastaza bene ... la formalizzazione che hai fatto mi trova perfettamente d'accordo. In effetti il punto cruciale è:
da $f(x)\sim e^x$ si può dedurre $\ln(f(x))\sim x$ ?? Questo è vero e si dimostra mediante "l'artificio":
$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(f(x))}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^x\frac{f(x)}{e^x})}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=1+\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=1$
perché
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^x}=1$ e quindi $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=\ln(1)=0$.
Quindi tutto OK in questo caso. Non è però vero il principio generale per cui, come dici tu "l'equivalenza asintotica si conserva nella composizione di funzioni". Per esempio
$x^2+x\sim x^2$ MA $e^{x^2+x}$ non è asintoticamente equivalente a $e^{x^2}$ dato che $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2+x}}{e^{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
In effetti il principio vale per la funzione logaritmo che "comprime" i suoi argomenti ma non per la funzione esponenziale che "li espande". Quindi con il logaritmo il tuo ragionamento va bene
(a patto che tu abbia fatto prima la dim, che ti ho indicato sopra) - non puoi invece invocare un principio generale "di composizione". Se ci pensi è anche ragionevole: essendo la nozione di
asintoticità definita mediante il rapporto di funzioni , non è detto che questa sia mantenuta se ci applico una funzione generica, ma può mantenersi se metto delle ipotesi.
Riguardo al primo discorso confermo che la nota che avevo messo voleva solo dire che la definizione di asintoticità potrebbe anche essere modificata - proponevo per esempio un' ALTRA definizione, (come hai giustamente notato), che è più restrittiva - ma non risolve i problemi.
mi pare che ragioni abbastaza bene ... la formalizzazione che hai fatto mi trova perfettamente d'accordo. In effetti il punto cruciale è:da $f(x)\sim e^x$ si può dedurre $\ln(f(x))\sim x$ ?? Questo è vero e si dimostra mediante "l'artificio":
$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(f(x))}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^x\frac{f(x)}{e^x})}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=1+\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=1$
perché
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^x}=1$ e quindi $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(\frac{f(x)}{e^x})}{x}=\ln(1)=0$.
Quindi tutto OK in questo caso. Non è però vero il principio generale per cui, come dici tu "l'equivalenza asintotica si conserva nella composizione di funzioni". Per esempio
$x^2+x\sim x^2$ MA $e^{x^2+x}$ non è asintoticamente equivalente a $e^{x^2}$ dato che $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2+x}}{e^{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
In effetti il principio vale per la funzione logaritmo che "comprime" i suoi argomenti ma non per la funzione esponenziale che "li espande". Quindi con il logaritmo il tuo ragionamento va bene
(a patto che tu abbia fatto prima la dim, che ti ho indicato sopra) - non puoi invece invocare un principio generale "di composizione". Se ci pensi è anche ragionevole: essendo la nozione di
asintoticità definita mediante il rapporto di funzioni , non è detto che questa sia mantenuta se ci applico una funzione generica, ma può mantenersi se metto delle ipotesi.
Riguardo al primo discorso confermo che la nota che avevo messo voleva solo dire che la definizione di asintoticità potrebbe anche essere modificata - proponevo per esempio un' ALTRA definizione, (come hai giustamente notato), che è più restrittiva - ma non risolve i problemi.
"ViciousGoblin":
Quindi tutto OK in questo caso. Non è però vero il principio generale per cui, come dici tu "l'equivalenza asintotica si conserva nella composizione di funzioni". Per esempio
$x^2+x\sim x^2$ MA $e^{x^2+x}$ non è asintoticamente equivalente a $e^{x^2}$ dato che $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2+x}}{e^{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
Forse hai frainteso il principio che ho enunciato (e di cui ho persino omesso la dimostrazione
), infatti non l'hai applicato correttamente.Premetto che ho "copiato" pari pari dalle dispense del mio professore, pertanto presumo che quella proposizione sia valida, corretta, verificata anche se non dispongo al momento di una dimostrazione (per sfida dopo proverò a dimostrarlo
)Questo è il teorema:
se $f(x) -> t_0$ per $x->x_0$
e $g(t) ~= h(t)$ per $t->t_0$,
allora $g(f(x)) ~= h(f(x))$ per $x->x_0$.
Abbiamo:
$f(x) = e^x$, e tende a $+oo$ per $x->+oo$
e $g(t)=x^2+x ~= h(t)=x^2$ per $t->+oo$,
allora per il teorema precedente deve essere $g(f(x)) ~= h(f(x))$ per $x->+oo$. Vediamo se è così:
$g(f(x))= g(e^x) = (e^x)^2+e^x = e^x(e^x+1)$
$h(f(x))= g(e^x) = (e^x)^2$
$lim_(x->+oo) g(f(x))/(h(f(x))) = lim_(x->+oo) (e^x(e^x+1))/(e^x*e^x) = lim_(x->+oo)(e^x+1)/e^x = 1$, pertanto $g(f(x)) ~= h(f(x))$ per $x->+oo$ CVD.
E come si vede non viene detto da nessuna parte che $e^(x^2)+e^x$ deve essere $~= e^(x^2)$ (cosa peraltro non vera
).(in effetti le funzioni da te scritte è $f(g(x))$ e $f(h(x))$, mentre invece la composizione andava applicata nell'altro senso)
Rimane da provare che la proposizione sia effettivamente un teorema, il che non è poco, ma ci provo subito.
Intanto convieni con me che, qualora lo fosse, non ci sarebbe bisogno della dimostrazione che hai introdotto nel tuo ultimo post?
Grazie per la pazienza :p
Oops , mi hai colto in flagrante. 
In effetti non ho letto con attenzione l'enunciato del "principio di composizione", che scritto come l'hai scritto è perfettamente corretto.
Credevo tu intendessi che se $f(x)\sim g(x)$ allora $h(f(x))\sim h(g(x))$ cosa che non è vera e su cui - direi - concordiamo. Devo scusarmi perché, per pigrizia, ho fatto una "interpolazione"
su quanto scrivevi, ricostruendo le cose a modo mio.
Invece rileggendo bene il tuo post concordo che il tuo ragionamento fila!
Rimane però il fatto che devi dimostrare che $ln(1+t) \sim \ln(t)$ per $t\to\infty$ e se provi a farlo (in modo elementare)
vedrai che l'artificio torna fuori.
In effetti non ho letto con attenzione l'enunciato del "principio di composizione", che scritto come l'hai scritto è perfettamente corretto.Credevo tu intendessi che se $f(x)\sim g(x)$ allora $h(f(x))\sim h(g(x))$ cosa che non è vera e su cui - direi - concordiamo. Devo scusarmi perché, per pigrizia, ho fatto una "interpolazione"
su quanto scrivevi, ricostruendo le cose a modo mio.
Invece rileggendo bene il tuo post concordo che il tuo ragionamento fila!
Rimane però il fatto che devi dimostrare che $ln(1+t) \sim \ln(t)$ per $t\to\infty$ e se provi a farlo (in modo elementare)
vedrai che l'artificio torna fuori.
Credo di esser giunto ad una dimostrazione del teorema (non sarò rigorosissimo):
Siano $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ due funzioni tali che $f(x) $ in $dom(g(x)), f(x) in dom(h(x))$, e che pertanto abbiano sempre senso le funzioni composte g(f(x)) ed h(f(x))
Sia $lim_(x->x_0)f(x)=t_0$, $lim_(t->t_0)g(t) = l_g$, $lim_(t->t_0)h(t) = l_h$, $g(x) ~= h(x)$ per $t->t_0$ .
Allora:
$lim_(t->t_0)g(t) = l_g rArr lim_(f(x)->t_0)g(f(x)) = l_g$
Ma $f(x) -> t_0$ per $x->x_0 rArr lim_(f(x)->t_0)g(f(x)) = l_g = lim_(x->x_0)g(f(x))$
Discorso Analogo per la funzione h.
A questo punto vediamo facilmente che $lim_(t->t_0) g(t)/h(t) = lim_(x->x_0)g(f(x))/h(f(x))$, ma per l'ipotesi dell'equivalenza asintotica tra g ed h il primo limite è uguale ad uno, pertanto anche il secondo deve esserlo, ovvero $g(f(x)) ~= h(f(x))$, il che conclude la dimostrazione.
(credo di essermi espresso malissimo ma mi perdonerete il poco rigore, sono un po' stanco e non m'ingozza di formalizzare meglio ora)
Ah.. ecco cos'è che io davo per scontato!
Siano $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ due funzioni tali che $f(x) $ in $dom(g(x)), f(x) in dom(h(x))$, e che pertanto abbiano sempre senso le funzioni composte g(f(x)) ed h(f(x))
Sia $lim_(x->x_0)f(x)=t_0$, $lim_(t->t_0)g(t) = l_g$, $lim_(t->t_0)h(t) = l_h$, $g(x) ~= h(x)$ per $t->t_0$ .
Allora:
$lim_(t->t_0)g(t) = l_g rArr lim_(f(x)->t_0)g(f(x)) = l_g$
Ma $f(x) -> t_0$ per $x->x_0 rArr lim_(f(x)->t_0)g(f(x)) = l_g = lim_(x->x_0)g(f(x))$
Discorso Analogo per la funzione h.
A questo punto vediamo facilmente che $lim_(t->t_0) g(t)/h(t) = lim_(x->x_0)g(f(x))/h(f(x))$, ma per l'ipotesi dell'equivalenza asintotica tra g ed h il primo limite è uguale ad uno, pertanto anche il secondo deve esserlo, ovvero $g(f(x)) ~= h(f(x))$, il che conclude la dimostrazione.
(credo di essermi espresso malissimo ma mi perdonerete il poco rigore, sono un po' stanco e non m'ingozza di formalizzare meglio ora
)"ViciousGoblin":
Rimane però il fatto che devi dimostrare che $ln(1+t) \sim \ln(t)$ per $t\to\infty$ e se provi a farlo (in modo elementare)
vedrai che l'artificio torna fuori.
Ah.. ecco cos'è che io davo per scontato!
Beh sembra che alla fine ci siamo capiti .
Comunque quello che mi premeva di più era metterti sull'avviso che la nozione di asintoticità va usata con "consapevolezza"
Ciao
.Comunque quello che mi premeva di più era metterti sull'avviso che la nozione di asintoticità va usata con "consapevolezza"
Ciao
Grazie ancora.
Ti prego di dare un occhiata anche qui: https://www.matematicamente.it/forum/dif ... tml#420708
Ti prego di dare un occhiata anche qui: https://www.matematicamente.it/forum/dif ... tml#420708
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo