Limite puntuale
Come ragiono per calcolare il limite puntuale di questa successione?
$f_n(x)=(senx)^n, x in[0,pi]$
$f_n(x)=(senx)^n, x in[0,pi]$
Risposte
"_ester_":
Come ragiono per calcolare il limite puntuale di questa successione?
$f_n(x)=(senx)^n, x in[0,pi]$
Per $n$ che va a $\infty$?
Sì, chiedo scusa per l'incompletezza. Guardando l'andamento delle funzioni per n crescente su una calcolatrice grafica si capisce che per $x!=pi/2, f_n$ tende a 0 mentre per $x=pi/2$ il limite è 1, ma mi chiedevo come dovrei ragionare in generale per capirlo
Per ogni $x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$, hai che $|\sin x|$ è compreso tra...?
Suppongo sia $0<=|senx|<1$
Esatto, e quanto vale
$$\lim_{n \to \infty} a^n$$
quando $0\le a <1$?
$$\lim_{n \to \infty} a^n$$
quando $0\le a <1$?
È 0. È chiaro il ragionamento, grazie mille
Ciao _ester_,
Il modulo non serve, perché per $x \in [0, \pi] $ il seno è positivo o al più nullo (per $x = 0$ e per $x = \pi $)
Pertanto, tolto il caso in cui $x = \pi/2 $ nel quale ovviamente il limite vale 1, in tutti gli altri casi il limite è nullo, cioè riassumendo si ha:
$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} (sin x)^n = \{(0 \text{ per } x \in [0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]),(1 \text{ per } x = \pi/2):} $
"_ester_":
Suppongo sia $0≤|senx|<1 $
Il modulo non serve, perché per $x \in [0, \pi] $ il seno è positivo o al più nullo (per $x = 0$ e per $x = \pi $)
Pertanto, tolto il caso in cui $x = \pi/2 $ nel quale ovviamente il limite vale 1, in tutti gli altri casi il limite è nullo, cioè riassumendo si ha:
$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} (sin x)^n = \{(0 \text{ per } x \in [0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]),(1 \text{ per } x = \pi/2):} $
Sì, grazie pilloeffe
Sarebbe interessante studiare lo stesso limite, ma per \(x\in \mathbb R\).
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