Limite per $x->0$
$\lim_{x->0} \frac{x^3 \cos (x+x^2)}{e^{-x} \log (1 - 2x) + \sin 2x}$
Ragazzi con questi limiti ho qualche problema. Il libro mi consiglia di scrivere $\frac{x^3 \cos (x+x^2)}{\frac{\log (1-2x) + e^x \sin 2x}{e^x}}$ però non riesco a trovare una via...mi aiutate? io volevo provare subito con taylor, non so perchè mi viene consigliato così! il problema magari anche sciocco è che non riesco a sviluppare il coseno, e non riesco a capire fino a che ordine bisogna procedere nello svilupp...grazie ragazzi
Ragazzi con questi limiti ho qualche problema. Il libro mi consiglia di scrivere $\frac{x^3 \cos (x+x^2)}{\frac{\log (1-2x) + e^x \sin 2x}{e^x}}$ però non riesco a trovare una via...mi aiutate? io volevo provare subito con taylor, non so perchè mi viene consigliato così! il problema magari anche sciocco è che non riesco a sviluppare il coseno, e non riesco a capire fino a che ordine bisogna procedere nello svilupp...grazie ragazzi
Risposte
Confronti locali, tramite i limiti notevoli. Bastano i primi ordini.
"ciampax":
Confronti locali, tramite i limiti notevoli. Bastano i primi ordini.
cioè $\log(1 - 2x) \sim -2x$ oppure $\sin 2x \sim 2x$, $e^{-x} \sim 1 -x$ e $\cos (x^2 + x) \sim 1 - x^2 / 2$ ? l'ultimo perchè su wolfram alpha viene come ho scritto mentre a me verrebbe $1 - (x^2 + x)^2 / 2$ ? perchè $x^2 = o(x) ?$
Ciao!
Se proprio devi usare quella forma equivalente dei limiti notevoli che è l'ordine d'infinitesimo,non abusarne:
và bene che le stime asintotiche $e^(-x)\sim(1-x),cos(x^2+x)\sim[1-1/2(x^2+x)^2]$ sono corrette,
ma perchè usarle se $e^(-x),cos(x^2+x)$ non sono funzioni infinitesime?
Gli sviluppi di Tylor e le stime asintotiche,infine,
non sono la soluzione di tutti i problemi pratici con l'individuazione dei comportamenti al limite:
ad esserlo è,quando indispensabile,una loro sapiente combinazione con gli altri metodi
(ed in particolare mi riferisco proprio ai limiti notevoli,dai quali d'altronde nascono..)!
Saluti dal web.
Edit:
la risposta all'ultima domanda è si,ma era un dubbio che potevi risparmiarti sostituendo solo le stime asintotiche delle funzioni infinitesime,ed a quel punto raccogliendo subito al denominatore (-2x) e tirando infine fuori dal cilindro,
ovviamente in modo legittimo,il limite notevole esponenziale che giustifica la prima delle tue stime asintotiche..
Se proprio devi usare quella forma equivalente dei limiti notevoli che è l'ordine d'infinitesimo,non abusarne:
và bene che le stime asintotiche $e^(-x)\sim(1-x),cos(x^2+x)\sim[1-1/2(x^2+x)^2]$ sono corrette,
ma perchè usarle se $e^(-x),cos(x^2+x)$ non sono funzioni infinitesime?
Gli sviluppi di Tylor e le stime asintotiche,infine,
non sono la soluzione di tutti i problemi pratici con l'individuazione dei comportamenti al limite:
ad esserlo è,quando indispensabile,una loro sapiente combinazione con gli altri metodi
(ed in particolare mi riferisco proprio ai limiti notevoli,dai quali d'altronde nascono..)!
Saluti dal web.
Edit:
la risposta all'ultima domanda è si,ma era un dubbio che potevi risparmiarti sostituendo solo le stime asintotiche delle funzioni infinitesime,ed a quel punto raccogliendo subito al denominatore (-2x) e tirando infine fuori dal cilindro,
ovviamente in modo legittimo,il limite notevole esponenziale che giustifica la prima delle tue stime asintotiche..
quindi mi stai dicendo che sia $e^{-x}$ che $\cos (x^2 + x)$ li considero uguali a $1$ non essendo per $x->0$ infinitesimi? equivale a considerare solamente per $x->0$
$\frac{x^3}{\log (1 - 2x) + \sin (2x)}$
Abbiamo che :
$\log (1 - 2x) \sim -2x - 2x^2 - (8x^3)/3$
$\sin (2x) \sim 2x - (4x^3)/3$
Il limite dovrebbe venire $- 1/3$ e così non verrebbe!
Grazie
$\frac{x^3}{\log (1 - 2x) + \sin (2x)}$
Abbiamo che :
$\log (1 - 2x) \sim -2x - 2x^2 - (8x^3)/3$
$\sin (2x) \sim 2x - (4x^3)/3$
Il limite dovrebbe venire $- 1/3$ e così non verrebbe!
Grazie
"davidedesantis":
quindi mi stai dicendo che sia $e^{-x}$ che $\cos (x^2 + x)$ li considero uguali a $1$ non essendo per $x->0$ infinitesimi? equivale a considerare solamente per $x->0$
$\frac{x^3}{\log (1 - 2x) + \sin (2x)}$
Abbiamo che :
$\log (1 - 2x) \sim -2x - 2x^2 - (8x^3)/3$
$\sin (2x) \sim 2x - (4x^3)/3$
Il limite dovrebbe venire $- 1/3$ e così non verrebbe!
Grazie
Digitavo l'edit mentre palesavi il dubbio che avevo paura ti venisse:
appena lo leggerai spero ti sarà più chiaro il motivo per il quale,ad occhio,quel limite è nullo..
mi devi scusare ma in realtà non capisco perchè quel limite sia uguale a $0$ 
Non hai nulla di cui scusarti:
andiamoci con ordine
,va bene?
Cos'è,a norma di definizion,l'ordine d'infinitesimo per una funzione f(x) che,a sua volta,è infinitesima?
Nel tuo testo ci sarà scritto che è il solo $alpha$ t.c $EElim_(x->0)(f(x))/(x^(alpha))=l$$inRR-{0}$:
che vuol dire questa cosa?
Significa innanzitutto che,se trovo il sifatto $alpha$,
appena proverò a calcolare $lim_(x->0)(f(x))/(x^(beta))$,con $beta
in modo del tutto analogo,se $beta>alpha$,potresti subito affermare che quel rapporto è infinitamente grande..
Ma ancor più quella strana definizione significa che,
in un intorno opportunamente piccolo del "valore" cui la x stà passando al limite
(virgoletto perchè potrebbe esser pure $x->+oo$ o $x->-oo$,e benche non siano numeri reali il discorso non cambierebbe..),
la f(x) può essere approssimata ad $lx^(alpha)$ a meno di quantità infinitesime ovvero piccolissime
(prova ad esempio a calcolare $1-cos0.0000001$ con la calcolatrice scientifica,
e vedrai quanto piccola sarà la differenza tra tale risultato e $1/2(0.0000001)^2$..):
in tale intorno $I$ si potrà cioè scrivere,
con approssimazione ottima(sopratutto perchè si stà provando a determinare il valore d' un limite..),
che f(x) sarà sempre "quasi uguale" a $lx^(alpha)$ per tutte le $x$$inI$,
ed è questo il significato,detto in termini un pò diversi,della scrittura $f(x)\simlx^(alpha)$
(che non a caso vien detta "stima"..)!
Questo fatto comporta che potrai,ogni volta che un limite ti mette in difficoltà,
provare(mica è certo sia utile o indispensabile..)a sostituire solo le quantità infinitesime che in esso compaiono con l'espressione $x^(alpha)$ che ben le approssima,
anche se "unicamente" in un opportuno intorno di ciò a cui tende la x
(ammesso e non concesso però che,usando i limiti notevoli,
tu sappia individuare subito l'ordine $alpha$ nel senso della definizione data..):
tanto ci pensa la presenza stessa del limite,a rendere legittima questa sostituzione bruta che spesso è utile
(anche se esposta così la mia spiegazione non è formalmente inappuntabile,
ma voglio intanto renderti l'idea perchè ho la sensazione che tu non ne sia ancora del tutto padrone e,se vorrai,
del formalismo ne riparlerai con me od altri..)!
Ora prova a far tali sostituzioni nel tuo limite(ma solo con gli infinitesimi,mi raccomando..),
e poi facci sapere:
saluti dal web.
andiamoci con ordine
,va bene?Cos'è,a norma di definizion,l'ordine d'infinitesimo per una funzione f(x) che,a sua volta,è infinitesima?
Nel tuo testo ci sarà scritto che è il solo $alpha$ t.c $EElim_(x->0)(f(x))/(x^(alpha))=l$$inRR-{0}$:
che vuol dire questa cosa?
Significa innanzitutto che,se trovo il sifatto $alpha$,
appena proverò a calcolare $lim_(x->0)(f(x))/(x^(beta))$,con $beta
in modo del tutto analogo,se $beta>alpha$,potresti subito affermare che quel rapporto è infinitamente grande..
Ma ancor più quella strana definizione significa che,
in un intorno opportunamente piccolo del "valore" cui la x stà passando al limite
(virgoletto perchè potrebbe esser pure $x->+oo$ o $x->-oo$,e benche non siano numeri reali il discorso non cambierebbe..),
la f(x) può essere approssimata ad $lx^(alpha)$ a meno di quantità infinitesime ovvero piccolissime
(prova ad esempio a calcolare $1-cos0.0000001$ con la calcolatrice scientifica,
e vedrai quanto piccola sarà la differenza tra tale risultato e $1/2(0.0000001)^2$..):
in tale intorno $I$ si potrà cioè scrivere,
con approssimazione ottima(sopratutto perchè si stà provando a determinare il valore d' un limite..),
che f(x) sarà sempre "quasi uguale" a $lx^(alpha)$ per tutte le $x$$inI$,
ed è questo il significato,detto in termini un pò diversi,della scrittura $f(x)\simlx^(alpha)$
(che non a caso vien detta "stima"..)!
Questo fatto comporta che potrai,ogni volta che un limite ti mette in difficoltà,
provare(mica è certo sia utile o indispensabile..)a sostituire solo le quantità infinitesime che in esso compaiono con l'espressione $x^(alpha)$ che ben le approssima,
anche se "unicamente" in un opportuno intorno di ciò a cui tende la x
(ammesso e non concesso però che,usando i limiti notevoli,
tu sappia individuare subito l'ordine $alpha$ nel senso della definizione data..):
tanto ci pensa la presenza stessa del limite,a rendere legittima questa sostituzione bruta che spesso è utile
(anche se esposta così la mia spiegazione non è formalmente inappuntabile,
ma voglio intanto renderti l'idea perchè ho la sensazione che tu non ne sia ancora del tutto padrone e,se vorrai,
del formalismo ne riparlerai con me od altri..)!
Ora prova a far tali sostituzioni nel tuo limite(ma solo con gli infinitesimi,mi raccomando..),
e poi facci sapere:
saluti dal web.
Seguendo quello che dice Theras, vorrei precisare una cosa:
$x^3\cos(x^2+x)\sim x^3$ e su questo non ci piove, visto che $\lim_{x\to 0}\cos(x^2+x)=1$
A denominatore invece mi rendo conto che servono proprio gli sviluppi di Taylor:
$e^{-x}\log(1-2x)+\sin(2x)=(1-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3))\cdot(-2x-2x^2-8/3 x^3+o(x^3))+2x-4/3 x^3+o(x^3)=$
$=-2x-2x^2-8/3 x^3+2x^2+2x^3-x^3+2x-4/3 x^3+o(x^3)-3x^3+o(x^3)$
e quindi il limite equivale a
$\lim_{x\to 0}{x^3}/{-3x^3}=-1/3$
$x^3\cos(x^2+x)\sim x^3$ e su questo non ci piove, visto che $\lim_{x\to 0}\cos(x^2+x)=1$
A denominatore invece mi rendo conto che servono proprio gli sviluppi di Taylor:
$e^{-x}\log(1-2x)+\sin(2x)=(1-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3))\cdot(-2x-2x^2-8/3 x^3+o(x^3))+2x-4/3 x^3+o(x^3)=$
$=-2x-2x^2-8/3 x^3+2x^2+2x^3-x^3+2x-4/3 x^3+o(x^3)-3x^3+o(x^3)$
e quindi il limite equivale a
$\lim_{x\to 0}{x^3}/{-3x^3}=-1/3$
Ciao,Ciampax!
No,io stò dicendo solo che $EElim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)log(1-2x)+sen2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)(-2x)+2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/((-2x)(e^(-x)-1))=lim_(x->0)(-x/2cos(x^2+x))/((e^(-x)-1)/(-x))=cdots$:
saluti dal web.
No,io stò dicendo solo che $EElim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)log(1-2x)+sen2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)(-2x)+2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/((-2x)(e^(-x)-1))=lim_(x->0)(-x/2cos(x^2+x))/((e^(-x)-1)/(-x))=cdots$:
saluti dal web.
Sì, ma infatti non stavo dicendo che avessi sbagliato: semplicemente aggiustavo il tiro per quanto riguardava l'approccio diretto all'esercizio. 
Ops,scusa :
mi si son evidentemente uniti i fili di cervello e stomaco,
durante la digestione della cena che cucinavo in questo strano Venerdi tra fornelli e Forum,
e non avevo colto lo spirito del tuo intervento..
A dirla tutta,son così fuso ed appesantito
(maledetti quei benedetti guanciale ed uova
)
che avevo dimenticato come la prima risposta l'avessi data tu:
mi sà che è arrivato il momento dei miei definitivi,per stasera,
saluti dal web.
:mi si son evidentemente uniti i fili di cervello e stomaco,
durante la digestione della cena che cucinavo in questo strano Venerdi tra fornelli e Forum,
e non avevo colto lo spirito del tuo intervento..
A dirla tutta,son così fuso ed appesantito
(maledetti quei benedetti guanciale ed uova
)che avevo dimenticato come la prima risposta l'avessi data tu:
mi sà che è arrivato il momento dei miei definitivi,per stasera,
saluti dal web.
"theras":
Ciao,Ciampax!
No,io stò dicendo solo che $EElim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)log(1-2x)+sen2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/(e^(-x)(-2x)+2x)=lim_(x->0)(x^3cos(x^2+x))/((-2x)(e^(-x)-1))=lim_(x->0)(-x/2cos(x^2+x))/((e^(-x)-1)/(-x))=cdots$:
saluti dal web.
Molto chiaro, Theras
"ciampax":
A denominatore invece mi rendo conto che servono proprio gli sviluppi di Taylor:
$e^{-x}\log(1-2x)+\sin(2x)=(1-x+x^2/2-x^3/3+o(x^3))\cdot(-2x-2x^2-8/3 x^3+o(x^3))+2x-4/3 x^3+o(x^3)=$
$=-2x-2x^2-8/3 x^3+2x^2+2x^3-x^3+2x-4/3 x^3+o(x^3)-3x^3+o(x^3)$
Ho chiarito i miei dubbi su questo esercizio, ma ne ho ancora un altro, ho capito che lo sviluppo in zero di funzioni non infinitesime non sempre sono utili, ed ho visto il motivo, infatti per $x->0$ $\cos (x^2 + x) = 1$, ma allora non sarebbe la stessa cosa per $x->0$ di $e^{-x} = 1$ perchè facendone lo sviluppo il limite viene, mentre se si considera $1$ non viene? So che queste domande posso sembrare sciocche, però non l'ho capito! Siete stati gentili e disponibili, grazie mille!
Eh no: la rgola di eliminare le cose non infinitesime (o infinite) vale solo per prodotti in cui non sono presenti somme (come a numeratore). Sotto invece $e^{-x}$ è sì moltiplicata per il logaritmo, ma poi il tutto è sommato alla funzione seno, e questo porta a cancellazione degli ordini di infinitesimo più piccoli. Se avessi sviluppato solo $\log(1-2x)+\sin(2x)$ avrei ottenuto $2x^2+o(x^2)$ che è un risultato errato.
"ciampax":
Eh no: la rgola di eliminare le cose non infinitesime (o infinite) vale solo per prodotti in cui non sono presenti somme (come a numeratore). Sotto invece $e^{-x}$ è sì moltiplicata per il logaritmo, ma poi il tutto è sommato alla funzione seno, e questo porta a cancellazione degli ordini di infinitesimo più piccoli. Se avessi sviluppato solo $\log(1-2x)+\sin(2x)$ avrei ottenuto $2x^2+o(x^2)$ che è un risultato errato.
Perfetto, grazie!
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