Limite per x --> 0

[katiat89]

ciao...ho cercato di risolvere questo limite, ma senza risultati...

$lim_(x->0)(3xsen(e^(2x)-1)-6x^2)/x^3$

ho provato ad applicare il limite fondamentale $lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$
così ho fatto diventare il limite di partenza:

$lim_(x->0)(3xsen(2x)-6x^2)/x^3$

ma ora se lo risolvo mi viene di nuovo una forma indeterminata...

a questo punto ho provato ad usare gli o(x) piccoli su sen x ma il risultato (che dovrebbe essere $6$ non mi viene ancora...)

per caso dovrei usare de l'hopital? se sì, non voglio sapere tutti i passaggi, ma almeno la funzione da cui partire...
perchè, ad esempio, qui mi verrebbe da applicare di nuovo un limite fondamentale (quello di senx),
ma allora la funzione di partenza mi risulterebbe
$lim_(x->0)(3x(2x)-6x^2)/x^3$ ...e sarei di nuovo al punto di partenza....
non so più come fare...
grazie!!! ciao

[Luca.Lussardi]

Io userei gli sviluppi di Mc Laurin, tenendo presente che $o((e^x-1)^n)=o(x^n)$.

[stefano_89]

Si basta applicare McLaurin:

più precisamente, lo sviluppo di $e^(2x) - 1 = 2x + 4x^2/(2!)$. Per lo sviluppo del seno puoi fermarti al primo termine (cioè $sen(x) =x$) e tenerti come sono $2x + 2x^2$

ti viene: $\lim_{x \to 0}(3x(2x + 2x^2) - 6x^2)/x^3$ e vedi subito che il risultato è 6

Ciao ciao..