Limite per x che tende ad infinito

[Felice.]

Salve ragazzi, nella prova di esame di analisi 1 ho beccato un limite in cui io banalmente ho detto che è uguale a 0 mentre il risultato è $4/3$
Non riesco a spiegarmi il motivo sapreste delucidarmi?
$(ln(x+1)-ln(x-1))/(x^2-sqrt(x^4-3x))$

[pilloeffe]

Ciao Felix123321,

E' piuttosto raro che accada, ma questa volta non sono d'accordo con TeM, nel senso che per il limite proposto la razionalizzazione non aiuta. Si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1) - \ln(x - 1)}{x^2 - \sqrt{x^4 - 3x}} = 4/3 $

Infatti si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1) - \ln(x - 1)}{x^2 - \sqrt{x^4 - 3x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + 1/x) - \ln(1 - 1/x)}{x^2 - x^2\sqrt{1 - 3/x^3}} = - \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + 1/x) - \ln(1 - 1/x)}{x^2(\sqrt{1 - 3/x^3} - 1)} = $
$ = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\ln(1 + 1/x) - \ln(1 - 1/x)}{1/x}}{\frac{\sqrt{1 - 3/x^3} - 1}{-3/x^3}} = 1/3 \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x} + \frac{\ln(1 - 1/x)}{- 1/x}}{\frac{\sqrt{1 - 3/x^3} - 1}{-3/x^3}} = 1/3 \cdot \frac{1 + 1}{1/2} = 4/3 $

[pilloeffe]

TeM, ho scritto che non aiuta, il che non significa che sia impossibile risolverlo come hai scritto. Certo, mi sembra preferibile un'altra strada, ma questo di certo non implica che quella che hai proposto sia errata. Anzi, vediamo se Felix123321 si cimenta nella strada che hai suggerito...