Limite per x all'infinito

[sine nomine1]

Ciao,
non capisco come procedere con il seguente limite
$ lim_(x -> oo) ((2x+3)/(sqrt(4x^2-x)))^x $
ho pensato di fare l'esponenziale del logaritmo e portare la x a moltiplicare
$ lim_(x -> oo) e^(x*ln((2x+3)/(sqrt(4x^2-x)))) $
ma da qui non saprei, ho provato a ricondurmi al limite di Nepero senza successo, un aiuto?
Grazie in anticipo

[Antimius]

Scrivi $$\frac{2x+3}{\sqrt{4x^2-x}} = 1 + \frac{2x+3 - \sqrt{4x^2-x}}{\sqrt{4x^2-x}}= 1 + \frac{1}{\frac{\sqrt{4x^2-x}}{2x+3-\sqrt{4x^2-x}}}$$
Se chiami $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2-x}}{2x+3-\sqrt{4x^2-x}}$, puoi scrivere la funzione iniziale come:
$$\Bigg[ \bigg(1 + \frac{1}{f(x)} \bigg) ^{f(x)} \Bigg]^{\frac{x}{f(x)}}$$
Si verifica che $f(x) \to \infty$ e quindi \(\displaystyle \bigg(1 + \frac{1}{f(x)}\bigg)^{f(x)} \to e \). Ora ti rimane da calcolare $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{f(x)}$ per concludere.

[sine nomine1]

Riguardo all'ultima parte ho fatto:
$ lim_(x -> oo)e^(x/((sqrt(4x^2-x))/(2x+3-sqrt(4x^2-x)))) $
ho razionalizzato al denominatore ottenendo:
$ lim_(x -> oo)e^(x/(((sqrt(4x^2-x))/(2x+3-sqrt(4x^2-x)))*((2x+3+sqrt(4x^2-x))/(2x+3+sqrt(4x^2-x))))) = $
e semplificando $ sqrt(4x^2-x) $ in $ 2x $ (si può fare?) ho ottenuto
$ = lim_(x -> oo)e^(x/((4x^2+6x+4x^2)/(4x^2+12x+9-4x^2-x))) = $
$ = lim_(x -> oo)e^(x/((8x^2+6x)/(11x+9))) = e^(11/8) $

solo che il risultato giusto dovrebbe essere $ e^(13/8) $ . Cosa sto sbagliando?

[Antimius]

Hai soltanto dimenticato di cambiare il segno a tutto $4x^2-x$ quando hai razionalizzato. Quindi ti viene $-x$ invece che $x$
Per quanto riguarda la radice, più precisamente hai $\sqrt{4x^2-x} = 2 |x| \sqrt{1 - \frac{1}{4x}}$ (con $|x|=x$ poiché il limite è a $+\infty$).

[sine nomine1]

Grazie mille!

[Antimius]

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