Limite per asintoto verticale
Ciao ragazzi, sto cercando gli asintoti di una funzione e devo calcolare questo limite:
$lim_(x to 0^+)(ln(x)-1)/(ln(x))$ , il cui risultato in base al confronto tra infiniti dicono che sia $1$.
Ma... perchè fa $1$?!?!
So che $ln(x)$ è l'infinito "meno potente", quindi rimarrebbe in gioco il $-1$ a numeratore, ma è $-1$ non $1$! Oppure, inizialmente (sicuramente sbagliando) ho considerato che la funzione logaritmo a $0$ vale $-infty$, quindi sostituendo troverei $lim_{x to 0^+}(-infty -1)/(-infty) = +infty$ ... ma immagino anche questo ragionamento non sia corretto.
Mi spiegate come affrontare questo limite? Grazie mille!!
$lim_(x to 0^+)(ln(x)-1)/(ln(x))$ , il cui risultato in base al confronto tra infiniti dicono che sia $1$.
Ma... perchè fa $1$?!?!
So che $ln(x)$ è l'infinito "meno potente", quindi rimarrebbe in gioco il $-1$ a numeratore, ma è $-1$ non $1$! Oppure, inizialmente (sicuramente sbagliando) ho considerato che la funzione logaritmo a $0$ vale $-infty$, quindi sostituendo troverei $lim_{x to 0^+}(-infty -1)/(-infty) = +infty$ ... ma immagino anche questo ragionamento non sia corretto.
Mi spiegate come affrontare questo limite? Grazie mille!!
Risposte
il $-1$ al numeratore non conta niente visto che le altre 2 quantità vanno all'infinito
quindi è "come se avessi" $(lnx)/(lnx)$
quindi è "come se avessi" $(lnx)/(lnx)$
$lim_(x->0^+)[(lnx-1)/lnx]=lim_(x->0^+)[(lnx)/(lnx)-1/(lnx)]=[1-1/((-infty))]=1$
"quantunquemente":
il $-1$ al numeratore non conta niente visto che le altre 2 quantità vanno all'infinito
quindi è "come se avessi" $(lnx)/(lnx)$
Ah capito, mi son fatta trarre in inganno dal fatto che secondo la gerarchia degli infiniti $ln(x)$ << $c^x$, quindi credevo che $ln(x)$ fosse un infinito di ordine inferiore rispetto a $-1$ e quindi non andasse considerato...
Non riuscirò mai ad evitare questi errori...
"anto_zoolander":
$ lim_(x->0^+)[(lnx-1)/lnx]=lim_(x->0^+)[(lnx)/(lnx)-1/(lnx)]=[1-1/((-infty))]=1 $
Grazie! Non ci avevo pensato a questo trucchetto algebrico, grazie!
Non capisco il perchè $ln(x)/(ln(x)$ faccia uno. Cioè, so che è un rapporto tra due stesse quantità e quindi è logico che faccia $1$, ma ad esempio per un limite tipo questo $lim_(x to +infty)(ln(x)-1)/ln(x)$, svolgendolo come mi ha consigliato anto_zoolander trovo $lim_(x to +infty)ln(x)/ln(x)-(1)/ln(x)$. Qua io istintivamente dedurrei che $ln(x)/ln(x)$ fa $infty/infty$ !
Come faccio a capire quando devo sostituire il valore a cui tende la $x$ e quando invece devo dividere i semplici coefficienti (si chiamano così? in questo caso, $1/1$ insomma...
) e trovare tranquillamente il risultato?? E' solo questione di esperienza o mi perdo qualcosa?
Come faccio a capire quando devo sostituire il valore a cui tende la $x$ e quando invece devo dividere i semplici coefficienti (si chiamano così? in questo caso, $1/1$ insomma...
) e trovare tranquillamente il risultato?? E' solo questione di esperienza o mi perdo qualcosa?
Noi tendiamo in prima battuta a sostituire il valore a cui tende il limite nell'espressione e "calcolarlo" e spesso ne traiamo conclusioni definitive, mentre dovremmo sempre ricordare che il limite, in generale, non è detto che corrisponda al valore dell'espressione in quel punto (ammesso che esista).
Nel caso in questione in ogni punto $x$ del dominio quella funzione vale $1$, sempre, il che ci porta "intuitivamente" a pensare che anche il limite sia $1$; per averne la certezza basta usare la definizione di limite: prova a farlo ...
Cordialmente, Alex
Nel caso in questione in ogni punto $x$ del dominio quella funzione vale $1$, sempre, il che ci porta "intuitivamente" a pensare che anche il limite sia $1$; per averne la certezza basta usare la definizione di limite: prova a farlo ...
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex, ora mi è chiaro!! E' che studiando da sola spesso mi perdo in un bicchier d'acqua...
Buona serata!!
Buona serata!!
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