Limite per asintoto obliquo

[VittoMPSNZ]

Buonasera a tutti, stavo studiando la funzione $ abs (x+2) e^(arctg(x+2)) $ e studiando il comportamento agli estremi, ho $ lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2)))/x= +infty $ . Poi trovo $ m=lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2)))/x= e^(pi/2) $ . Nell'ultimo limite $ q=lim_{ x to +infty } (abs (x+2) e^(arctg(x+2))) - xe^(pi/2) $ mi blocco. Mi trovo zero, e guardando sulla calcolatrice grafica, il risultato dovrebbe essere $ e^(pi/2) $ . Come si procede per calcolare questo limite?

[spugna2]

Innanzitutto, dato che stai considerando il caso $+oo$, puoi liberarti del valore assoluto e scrivere l'espressione dell'ultimo limite come

$x(e^(arctg(x+2))-e^(pi/2))+2e^(arctg(x+2))$

L'ultimo termine tende a $2e^(pi/2)$ e puoi portarlo fuori dal limite, mentre in quello che rimane puoi effettuare un ulteriore raccoglimento per ricondurti a un limite notevole:

$x(e^(arctg(x+2))-e^(pi/2))=x e^(pi/2) (e^(arctg(x+2)-pi/2)-1)=xe^(pi/2) (arctg(x+2)-pi/2) (e^(arctg(x+2)-pi/2)-1)/(arctg(x+2)-pi/2)$

Poichè $arctg(x+2)-pi/2 \rightarrow 0$, l'ultima frazione tende a $1$ e si può cancellare. Similmente, puoi riscrivere la $x$ iniziale come $x/(x+2) (x+2)$ e cancellare $x/(x+2)$ per avere un'espressione in cui compare solo $x+2$, quindi con il cambio di variabile $y=x+2$ arrivi a

$2e^(pi/2)+ e^(pi/2) lim_{y->+oo} y (arctg(y)-pi/2)$

Da qui puoi concludere in più modi, ad esempio:

- fare un altro cambio di variabile (prendere come nuova variabile il secondo fattore dovrebbe essere d'aiuto...)

- ricordare che per ogni $y>0$ si ha $arctg(y)+arctg(1/y)=pi/2$, e riscrivere l'ultima espressione come

$- (arctg(1/y))/(1/y)$

che è un altro limite notevole. Il risultato finale sarà quindi $2e^(pi/2)-e^(pi/2)=e^(pi/2)$.