Limite particolare

[leo203]

Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi se sapete dirmi come risolvere questo limite...

$ Lim x-->o ((2*(1 - cos(8x)))/x*1/sin(x) + 8cos(8x - pi) + x^-1 ln(1+8x^2))$


Vi ringrazio molto!
Leo...

[_luca.barletta]

considera la parte principale di $PP(1-cos(8x))=64x^2$, di $PP(sinx)=x$, quindi ottieni come risultato $64-8+0=56$

[leo203]

scusa, ma non ho davvero capito che procedimento hai usato. Perdonami...!
Grazie mille.
Leo

[fireball1]

Basta usare i limiti notevoli (eviterò di usare gli o piccoli per semplicità).
Si ha infatti, per $x->0$:

$1-cos(8x)~~(64x^2)/2=32x^2$
$sinx~~x$
$ln(1+8x^2)~~8x^2$

Inoltre per quanto riguarda $8cos(8x-pi)$,
questo non ci crea problemi perché questa
funzione è continua in $x=0$, e il suo limite
per $x->0$ è pari al valore della funzione
assunto in $x=0$, cioè $-8$.

A questo punto il limite diventa, sostituendo:

$lim_(x->0) ((64x^2)/(x^2)-8+(8x^2)/x)=$
$=lim_(x->0)(64-8+8x)=lim_(x->0)(56+8x)=56

[leo203]

ma senza prodotti notevoli è impossibile risolvere il limite?perchè so che limiti per x---> 0 si possono risolvere anche con le approssimazioni...! del tipo...

$ Cos ( 8x ) = 1 , Sin (x) = x $

Qui non è possibile?

[Luca.Lussardi]

Credo che il metodo di Fireball sia il più diretto e semplice.

[fireball1]

Grazie Luca... Se proprio non vuoi usare le
approssimazioni, devi usare qualche trucchetto
in modo da farti "venire fuori" dal limite originario
i limiti notevoli che ti servono. Ad esempio, se tu
hai $(1-cos(8x))/(xsinx)$, dividendo numeratore
e denominatore per $64x^2$ ottieni: $((1-cos(8x))/(64x^2))/(sinx/(64x))$
che, per $x->0$, tende a $(1/2)/(1/64)$, cioè $32$, per cui,
siccome hai un fattore 2 davanti, il tutto va a $64$.