Limite particolare
Salve a tutti
sono in difficoltà con questo limite:
$\lim_{x \to \infty} ((x+5)/(x+4))^(n-x)$
che dovrebbe essere della forma:
$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x=e$
Dividendo numeratore e denominatore ho trovato:
$\lim_{x \to \infty} (1+2/(x+3))^(x-4)$
ma a questo punto mi trovo in difficoltà..
Grazie e saluti
Giovanni C.
sono in difficoltà con questo limite:
$\lim_{x \to \infty} ((x+5)/(x+4))^(n-x)$
che dovrebbe essere della forma:
$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x=e$
Dividendo numeratore e denominatore ho trovato:
$\lim_{x \to \infty} (1+2/(x+3))^(x-4)$
ma a questo punto mi trovo in difficoltà..
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Ma i coefficienti numerici cambiano ad ogni passaggio? Come ti fa a venire $x+3$ a denominatore se prima c'erano $x+4$ e $x+5$? Dovrebbe venire uno dei due, no? E poi, a esponente prima c'era $n$, ora un $4$. Si può sapere qual è la traccia corretta?
Ciao
premetto che non sono bravissimo con i limiti, ma io fare in questo modo
riscrivi il tuo limite come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{n} }{\left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} }[/tex]
il numeratore é un limite semplice, e fa $1$
il denominatore invece lo vedrei come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} } =\lim_{x\rightarrow \infty}e^{x \log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)}[/tex]
[tex]\displaystyle = \lim_{k\rightarrow 0} e^{\frac{1}{k} \log \left( \frac{\frac{1}{k} +5}{\frac{1}{k} +4} \right)}[/tex]
che diventa
[tex]\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0} e^{\frac{\left(\log \frac{ \frac{1}{k} + 5}{\frac{1}{k} +4} \right)} {k}}[/tex]
che ti da una forma indeterminata del tipo $0\cdot oo$ applico Hopital e trovo
[tex]\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0} \frac{e^{\log \left( \frac{\frac{1}{k} +5}{\frac{1}{k} +4} \right) }}{k} = \lim_{k\rightarrow 0} e^{ \frac{\frac{1}{20x^{2}+9x+1}}{1}} = e^{1} = e[/tex]
quindi il tuo limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} } = \frac{1}{e}[/tex]
sbaglio?
p.s.: non so come mai ma a me ad un certo punto l'editor ha incominciato a visualizzare male le parentesi. Capita anche a voi?
premetto che non sono bravissimo con i limiti, ma io fare in questo modo
riscrivi il tuo limite come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{n} }{\left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} }[/tex]
il numeratore é un limite semplice, e fa $1$
il denominatore invece lo vedrei come
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} } =\lim_{x\rightarrow \infty}e^{x \log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)}[/tex]
[tex]\displaystyle = \lim_{k\rightarrow 0} e^{\frac{1}{k} \log \left( \frac{\frac{1}{k} +5}{\frac{1}{k} +4} \right)}[/tex]
che diventa
[tex]\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0} e^{\frac{\left(\log \frac{ \frac{1}{k} + 5}{\frac{1}{k} +4} \right)} {k}}[/tex]
che ti da una forma indeterminata del tipo $0\cdot oo$ applico Hopital e trovo
[tex]\displaystyle \lim_{k\rightarrow 0} \frac{e^{\log \left( \frac{\frac{1}{k} +5}{\frac{1}{k} +4} \right) }}{k} = \lim_{k\rightarrow 0} e^{ \frac{\frac{1}{20x^{2}+9x+1}}{1}} = e^{1} = e[/tex]
quindi il tuo limite diventa
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\log \left( \frac{x+5}{x+4} \right)^{x} } = \frac{1}{e}[/tex]
sbaglio?
p.s.: non so come mai ma a me ad un certo punto l'editor ha incominciato a visualizzare male le parentesi. Capita anche a voi?
"gcappellotto":
Salve a tutti
sono in difficoltà con questo limite:
$\lim_{x \to \infty} ((x+5)/(x+4))^(n-x)$
che dovrebbe essere della forma:
$\lim_{x \to \infty} (1+1/x)^x=e$
Dividendo numeratore e denominatore ho trovato:
$\lim_{x \to \infty} (1+2/(x+3))^(x-4)$
ma a questo punto mi trovo in difficoltà..
Grazie e saluti
Giovanni C.
$lim_(x->oo)((x+5)/(x+4))^(n-x)$
$lim_(x->oo)((x+5)/(x+4))^n((x+5)/(x+4))^(-x)$
$lim_(x->oo)((x+5)/(x+4))^n[((x+4+1)/(x+4))^x]^(-1)$
$lim_(x->oo)[(x(1+5/x))/(x(1+4/x))]^n[((x+4)/(x+4)+1/(x+4))^x]^(-1)$
$lim_(x->oo)[(x(1+5/x))/(x(1+4/x))]^n[(1+1/(x+4))^x]^(-1)$. Questo è abbastanza agevole.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo