Limite pari a $oo * sin^4(θ)$
Ciao a tutti,
svolgendo un esercizio mi è sorto un dubbio..
mi si chiede di trovare l'estremo superiore e inferiore in $RR^2$ della funzione
$f(x,y) = 4y^4 - 16x^2y + x$
Ora ad occhio si vede che se fisso y la funzione va a meno infinito, mentre se fisso x va a più infinito, quindi la sua immagine è tutto $RR$
Tuttavia volendo essere proprio rigorosi, ho provato a dimostrare la non coercitività della funzione, passando in coordinate polari e svolgendo il limite
$lim_(ρ->oo) 4ρ^4sin^4(θ)-16ρ^3cos^2(θ)sin(θ) + ρcos(θ)$
che fa $oo * sin^4(θ)$. Cosa posso dire io di questo risultato? Il limite trovato è senza dubbio una quantità positiva, ma oscillante al variare di θ.
Grazie in anticipo
svolgendo un esercizio mi è sorto un dubbio..
mi si chiede di trovare l'estremo superiore e inferiore in $RR^2$ della funzione
$f(x,y) = 4y^4 - 16x^2y + x$
Ora ad occhio si vede che se fisso y la funzione va a meno infinito, mentre se fisso x va a più infinito, quindi la sua immagine è tutto $RR$
Tuttavia volendo essere proprio rigorosi, ho provato a dimostrare la non coercitività della funzione, passando in coordinate polari e svolgendo il limite
$lim_(ρ->oo) 4ρ^4sin^4(θ)-16ρ^3cos^2(θ)sin(θ) + ρcos(θ)$
che fa $oo * sin^4(θ)$. Cosa posso dire io di questo risultato? Il limite trovato è senza dubbio una quantità positiva, ma oscillante al variare di θ.
Grazie in anticipo
Risposte
Non vedo perché complicarsi l'esistenza quando, prendendo $y=1$ si ottiene una restrizione non limitata inferiormente e prendendo $y=-1$ si ottiene una restrizione non limitata superiormente.
D'altra parte, il fatto che:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} f(x,1) = -\infty \neq +\infty = \lim_{x\to \pm \infty} f(x,-1)
\]
ti assicura che il \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to \infty} f(x,y)\) non esiste.
D'altra parte, il fatto che:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} f(x,1) = -\infty \neq +\infty = \lim_{x\to \pm \infty} f(x,-1)
\]
ti assicura che il \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to \infty} f(x,y)\) non esiste.
Ti ringrazio per la risposta,
sì infatti in questo modo non ci sono dubbi sui suoi estremi..
ma ancora mi chiedo che significato abbia quel limite fatto in coordinate polari. Si può dire che il risultato ottenuto, essendo oscillante, assicura la non esistenza del limite?
sì infatti in questo modo non ci sono dubbi sui suoi estremi..
ma ancora mi chiedo che significato abbia quel limite fatto in coordinate polari. Si può dire che il risultato ottenuto, essendo oscillante, assicura la non esistenza del limite?
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