Limite parametrico in due variabili fuori dall'origine

Proxima9
ciao,

sto cercando di risolvere il seguente limite in coordinate polari con parametro, ma non riesco ad ad arrivare a una conclusione.

$ lim_((x,y)->(0,1))(x(y-1)^(2k-1))/(x^2+(y-2)^2) $

Inizio a porre:
x=cos$\theta$
y=1 + sin$\theta$

Il limite diventa:

$ lim_(\rho->0)(|\rho cos\theta (1+\rhosin\theta-1)^(2k+1)|)/(|\rho^2cos^2\theta+(\rho sin\theta+1-2)^2|) $

dopo alcuni passaggi algebrici, ottengo:

$ lim_(\rho->0)(|(\rho cos\theta) (\rho sin\theta) (\rho^(2k) sin^(2k)\theta)|)/(|\rho^2cos^2\theta+\rho^2 sin^2\theta+1-2\rho sin\theta|) $

a questo punto faccio una maggiorazione, togliendo tutte le funzioni trigonometriche al numeratore.
Qui ho il primo dubbio: è lecito maggiorare togliendo anche il seno elevato a k, oppure lo posso togliere solo imponendo che k>0?

Eseguendo la maggiorazione togliendo seni e coseni, mi resta:

$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)+1-2\rho sin\theta|) $

e dato che il quadrato di seno + coseno è =1, mi rimane questo:

$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2+1-2\rho sin\theta|) $

Ora vorrei fare un'ulteriore maggiorazione eliminando il seno, in modo da restare con le sole $\rho$.
Però non capisco se è legittimo maggiorare togliendo il seno al denominatore. Non sono convinto che si ottenga un denominatore più basso in valore assoluto.
Voi che ne dite? Io non saprei come procedere oltre. E in ogni caso il risultato varrebbe solo per k>0, a causa della restrizione fatta prima.

Risposte
Black Magic
Ho un dubbio: da dove sbuca fuori $\rho$ se non l'hai usata nella sostituzione di x e y?

Proxima9
Non ho scritto correttamente la sostituzione, ero un pò fuso, la sostituzione è:
$ x=\rho cos\theta $
$ y=1+\rho sin\theta $

come in ogni buon limite da calcolare in coordinate polari.

Nessuna idea su questo limite?

ciao ciao

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