Limite parametrico in due variabili fuori dall'origine
ciao,
sto cercando di risolvere il seguente limite in coordinate polari con parametro, ma non riesco ad ad arrivare a una conclusione.
$ lim_((x,y)->(0,1))(x(y-1)^(2k-1))/(x^2+(y-2)^2) $
Inizio a porre:
x=cos$\theta$
y=1 + sin$\theta$
Il limite diventa:
$ lim_(\rho->0)(|\rho cos\theta (1+\rhosin\theta-1)^(2k+1)|)/(|\rho^2cos^2\theta+(\rho sin\theta+1-2)^2|) $
dopo alcuni passaggi algebrici, ottengo:
$ lim_(\rho->0)(|(\rho cos\theta) (\rho sin\theta) (\rho^(2k) sin^(2k)\theta)|)/(|\rho^2cos^2\theta+\rho^2 sin^2\theta+1-2\rho sin\theta|) $
a questo punto faccio una maggiorazione, togliendo tutte le funzioni trigonometriche al numeratore.
Qui ho il primo dubbio: è lecito maggiorare togliendo anche il seno elevato a k, oppure lo posso togliere solo imponendo che k>0?
Eseguendo la maggiorazione togliendo seni e coseni, mi resta:
$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)+1-2\rho sin\theta|) $
e dato che il quadrato di seno + coseno è =1, mi rimane questo:
$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2+1-2\rho sin\theta|) $
Ora vorrei fare un'ulteriore maggiorazione eliminando il seno, in modo da restare con le sole $\rho$.
Però non capisco se è legittimo maggiorare togliendo il seno al denominatore. Non sono convinto che si ottenga un denominatore più basso in valore assoluto.
Voi che ne dite? Io non saprei come procedere oltre. E in ogni caso il risultato varrebbe solo per k>0, a causa della restrizione fatta prima.
sto cercando di risolvere il seguente limite in coordinate polari con parametro, ma non riesco ad ad arrivare a una conclusione.
$ lim_((x,y)->(0,1))(x(y-1)^(2k-1))/(x^2+(y-2)^2) $
Inizio a porre:
x=cos$\theta$
y=1 + sin$\theta$
Il limite diventa:
$ lim_(\rho->0)(|\rho cos\theta (1+\rhosin\theta-1)^(2k+1)|)/(|\rho^2cos^2\theta+(\rho sin\theta+1-2)^2|) $
dopo alcuni passaggi algebrici, ottengo:
$ lim_(\rho->0)(|(\rho cos\theta) (\rho sin\theta) (\rho^(2k) sin^(2k)\theta)|)/(|\rho^2cos^2\theta+\rho^2 sin^2\theta+1-2\rho sin\theta|) $
a questo punto faccio una maggiorazione, togliendo tutte le funzioni trigonometriche al numeratore.
Qui ho il primo dubbio: è lecito maggiorare togliendo anche il seno elevato a k, oppure lo posso togliere solo imponendo che k>0?
Eseguendo la maggiorazione togliendo seni e coseni, mi resta:
$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)+1-2\rho sin\theta|) $
e dato che il quadrato di seno + coseno è =1, mi rimane questo:
$ lim_(\rho->0)(|\rho^(2k+2)|)/(|\rho^2+1-2\rho sin\theta|) $
Ora vorrei fare un'ulteriore maggiorazione eliminando il seno, in modo da restare con le sole $\rho$.
Però non capisco se è legittimo maggiorare togliendo il seno al denominatore. Non sono convinto che si ottenga un denominatore più basso in valore assoluto.
Voi che ne dite? Io non saprei come procedere oltre. E in ogni caso il risultato varrebbe solo per k>0, a causa della restrizione fatta prima.
Risposte
Ho un dubbio: da dove sbuca fuori $\rho$ se non l'hai usata nella sostituzione di x e y?
Non ho scritto correttamente la sostituzione, ero un pò fuso, la sostituzione è:
$ x=\rho cos\theta $
$ y=1+\rho sin\theta $
come in ogni buon limite da calcolare in coordinate polari.
Nessuna idea su questo limite?
ciao ciao
$ x=\rho cos\theta $
$ y=1+\rho sin\theta $
come in ogni buon limite da calcolare in coordinate polari.
Nessuna idea su questo limite?
ciao ciao