Limite parametrico
salve a tutti ragazzi;
devo risolvere questo limite al variare di $ a in RR $
$ lim_(x -> 0) { [ ((cos(x))/cos(2x))^ (1/x^2) ]^-1 + ((1 - cos^3(x))^8/(x^asin(x))} $
qualcuno può indicarmi la retta via...non so proprio dove mettere mani
magari qualche semplificazione che mi renda più semplice la risoluzione!!!!!
Grazie
devo risolvere questo limite al variare di $ a in RR $
$ lim_(x -> 0) { [ ((cos(x))/cos(2x))^ (1/x^2) ]^-1 + ((1 - cos^3(x))^8/(x^asin(x))} $
qualcuno può indicarmi la retta via...non so proprio dove mettere mani
magari qualche semplificazione che mi renda più semplice la risoluzione!!!!!
Grazie
Risposte
Confronto locale? Tipo $\sin x\sim x$, $\cos x\sim 1-x^2/2$ e via discorrendo...
ah ho capito!!!
P.S. : potrebbe essere utile applicare la formula di bisezione del coseno?
dove il $cos2x = 1 - 2sin^2x$ o no serve?
e poi $1 - cos^3x$ lo posso vedere come differenza di cubi??
cioè:
$1 - cos^3x = (1 - cosx ) ( 1 + cos^2x + cosx) $ ????
P.S. : potrebbe essere utile applicare la formula di bisezione del coseno?
dove il $cos2x = 1 - 2sin^2x$ o no serve?
e poi $1 - cos^3x$ lo posso vedere come differenza di cubi??
cioè:
$1 - cos^3x = (1 - cosx ) ( 1 + cos^2x + cosx) $ ????
No, intende sviluppo in serie di potenze o con MacLaurin.
$cos(z)=sum_(k=0)^n (-1)^k z^(2k)/((2k)!) + o(z^(n+1))$
es:
${(cos(z)=1-z^2/(2!)+o(z^3)),(z=2x):}-> cos(2x)=1-2x^2+o (x^3)$
Ergo: $cos(2x)sim_(x->0)1-2x^2$
$cos(z)=sum_(k=0)^n (-1)^k z^(2k)/((2k)!) + o(z^(n+1))$
es:
${(cos(z)=1-z^2/(2!)+o(z^3)),(z=2x):}-> cos(2x)=1-2x^2+o (x^3)$
Ergo: $cos(2x)sim_(x->0)1-2x^2$
no durante il corso non abbiamo affrontato questo argomento...però la prof. l'ha segnalato tra gli argomenti facoltativi (cioè "per chi fosse interessato lo studia da solo!").
allora io mi chiedo c'è un metodo alternativo???
allora io mi chiedo c'è un metodo alternativo???
Però lo sviluppo in serie di Taylor lo avete fatto, vero ?
Per quanto riguarda il secondo addendo:
$(1-cos^3x)^8/(x^asinx)=$
$=((1-cosx)^8(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx)*(1+cosx)^8/(1+cosx)^8=$
$=((1-cos^2x)^8(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx(1+cosx)^8)=$
$=(sin^16x(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx(1+cosx)^8)=$
$=(sin^15x(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^a(1+cosx)^8)$
In questo modo, si tratta di discutere il solo fattore $[(sin^15x)/x^a]$, limite notevole per l'appunto. Inoltre, se $[a>15]$, il limite del secondo addendo è infinito, e allora potresti avere un'ulteriore forma indeterminata del tipo $[oo-oo]$ quando consideri anche il primo addendo. Insomma, bisogna augurarsi che il primo addendo non vada all'infinito per concludere in modo meno articolato.
$(1-cos^3x)^8/(x^asinx)=$
$=((1-cosx)^8(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx)*(1+cosx)^8/(1+cosx)^8=$
$=((1-cos^2x)^8(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx(1+cosx)^8)=$
$=(sin^16x(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^asinx(1+cosx)^8)=$
$=(sin^15x(1+cosx+cos^2x)^8)/(x^a(1+cosx)^8)$
In questo modo, si tratta di discutere il solo fattore $[(sin^15x)/x^a]$, limite notevole per l'appunto. Inoltre, se $[a>15]$, il limite del secondo addendo è infinito, e allora potresti avere un'ulteriore forma indeterminata del tipo $[oo-oo]$ quando consideri anche il primo addendo. Insomma, bisogna augurarsi che il primo addendo non vada all'infinito per concludere in modo meno articolato.
"lordb":
Però lo sviluppo in serie di Taylor lo avete fatto, vero ?
sempre tra gli argomenti facoltativi...la prof non ha mai risolto esercizi con questi metodi!!!!!
"speculor":
In questo modo, si tratta di discutere il solo fattore $[(sin^15x)/x^a]$, limite notevole per l'appunto. Inoltre, se $[a>15]$, il limite del secondo addendo è infinito, e allora potresti avere un'ulteriore forma indeterminata del tipo $[oo-oo]$ quando consideri anche il primo addendo. Insomma, bisogna augurarsi che il primo addendo non vada all'infinito per concludere in modo meno articolato.
Il primo addendo dovrebbe essere una forma indeterminanta del tipo $ 1^oo$. Giusto?
Giusto. Se non puoi utilizzare gli sviluppi in serie, delle due l'una: ti riduci ad un limite notevole oppure applichi il teorema di de l'Hôpital.
al primo addendo non posso applicare de l'hopital però perchè non fa parte delle forme indeterminate previste dal teorema...
$[cos(x)/cos(2x)]^(-1/x^2)=e^(-1/x^2ln[cos(x)/cos(2x)])$
In definitiva, si tratta di risolvere il limite della seguente funzione:
$-1/x^2ln[cos(x)/cos(2x)]=-ln[cos(x)/cos(2x)]/x^2$.
Magari è una seccatura. Tuttavia, ridursi ad un limite notevole mi sembra tutt'altro che banale.
In definitiva, si tratta di risolvere il limite della seguente funzione:
$-1/x^2ln[cos(x)/cos(2x)]=-ln[cos(x)/cos(2x)]/x^2$.
Magari è una seccatura. Tuttavia, ridursi ad un limite notevole mi sembra tutt'altro che banale.
Se da $lim_(x->0)[f(x)^g(x)]$ ottieni $1^oo$, ricordati l'identità:
$lim_(x->0)[f(x)^g(x)]=lim_(x->0)[e^(log(f(x)^g(x)))]=lim_(x->0)[e^(g(x)*log(f(x)))]$
edit: scusa speculor per il post in contemporanea
$lim_(x->0)[f(x)^g(x)]=lim_(x->0)[e^(log(f(x)^g(x)))]=lim_(x->0)[e^(g(x)*log(f(x)))]$
edit: scusa speculor per il post in contemporanea
Ci mancherebbe. Del resto, io stesso mi ero intromesso. Inoltre, $[2]$ è meglio di $[1]$. 
A proposito, sei molto giovane se ho capito bene. Prometti bene.
A proposito, sei molto giovane se ho capito bene. Prometti bene.
grazie a tutti e due
@speculor grazie tante 
@MarkNin di niente
@MarkNin di niente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo