Limite parametrico

[ironrinox9]

Buonasera a tutti, sto avendo qualche difficoltà nella risoluzione di questo limite parametrico, potete per favore aiutarmi a ragionarci? Il limite è:

lim(x->0) [(e^x)-1-x]/(x^a) (con a>0)

Sono riuscito solamente a trovare la soluzione per a=1, scomponendo il limite così: [(e^x-1)/x]-x/x
Applicando il limite notevole, ho ottenuto 1-1=0.
Nei casi in cui a>1 e 0

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Risposte

pilloeffe

21 mar 2018, 00:42

Ciao ironrinox9,

Benvenuto sul forum!

Osserverei che $e^x - 1 - x = x^2/2 + o(x^3) $, per cui si ha:

$ lim_{x \to 0^+} frac{e^x - 1 - x}{x^a} = lim_{x \to 0^+} x^{- a} (x^2/2 + o(x^3)) = lim_{x \to 0^+} x^{2 - a}/2 + o(x^{3 - a}) = {(0, text{ se } 0 \le a < 2),(1/2, text{ se } a = 2),(+\infty, text{ se } a > 2) :} $

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[pilloeffe]

Ciao ironrinox9,

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Osserverei che $e^x - 1 - x = x^2/2 + o(x^3) $, per cui si ha:

$ lim_{x \to 0^+} frac{e^x - 1 - x}{x^a} = lim_{x \to 0^+} x^{- a} (x^2/2 + o(x^3)) = lim_{x \to 0^+} x^{2 - a}/2 + o(x^{3 - a}) = {(0, text{ se } 0 \le a < 2),(1/2, text{ se } a = 2),(+\infty, text{ se } a > 2) :} $