Limite parametrico

[Stizzens]

Determinare k a valori reali
$ lim_(x -> +infty) (kxln((3x+1)/(3x)))=2 $
effettuando la proprietà dei logaritmi mi trovo al punto che
$ kx=2 $
quindi il risultato finale è k=0?
Come sempre grazie a chi risponderà

[pilloeffe]

Ciao Stizzens,

"Stizzens":quindi il risultato finale è k=0?

La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)
Scherzi a parte, il risultato è $k = 6 $
D'altronde si vede subito che se $k = 0 $ l'argomento del limite si annulla, quindi non può essere... Prova a ragionare cercando di ricondurti al limite notevole

$lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $

[francicko]

$lim_(x->+infty)kxln (1+1/(3x)) $ ed essendo $ln (1+1/(3x))~~1/(3x) $ diventa $lim_(x->+infty)kx1/(3x) $ si deduce subito $k=6$
Puoi ricondurti al noto limite notevole puoi porre $1/(3x)=t $ per cui diventa $lim_(x->+infty)(1/3)klog(1+t)/t=$ $(1/3)k=2$ da cui $k=6$

[Stizzens]

"francicko":$lim_(x->+infty)kxln (1+1/(3x)) $ ed essendo $ln (1+1/(3x))~~1/(3x) $ diventa $lim_(x->+infty)kx1/(3x) $ si deduce subito $k=6$

Come sei arrivato a $ Ln(1+1/(3x)) $ ?
Poi che significa questo segno $ ~~ $ ?

[Stizzens]

"pilloeffe":Ciao Stizzens,
[quote="Stizzens"]quindi il risultato finale è k=0?

La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te epperò è... sbagliaaata !
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=WGQ7JZRZ65M)
Scherzi a parte, il risultato è $k = 6 $
D'altronde si vede subito che se $k = 0 $ l'argomento del limite si annulla, quindi non può essere... Prova a ragionare cercando di ricondurti al limite notevole

$lim_{f(x) \to 0} frac{ln[1 + f(x)]}{f(x)} = 1 $[/quote]
Divido numeratore e denominatore per $ 3x $ così il limite notevole si presenta ed è uguale a 1, poi rimane sempre $ Kx $ no?

[francicko]

1)$(1+3x)/(3x)=1/(3x)+(3x)/(3x) $ $=(1/(3x)+1)$
2)l'asintotico $log (1+1/(3x)) $ $ ~~$ $1/(3x) $ corrisponde al noto limite notevole $lim_(t->0)log(1+t)/t=1$ dove in questo caso $t=1/(3x) $ ☺

[francicko]

Direi che dividi e moltiplichi per $3$ e mi riconduco ad $lim_(x->infty)(k/3)3xlog (1+1/(3x)) $ $=lim_(x->infty)(k/3)log (1+1/(3x))/(1/(3x))$ $=k/3×1=2$ da cui $k=6$

[Stizzens]

"francicko":1)$(1+3x)/(3x)=1/(3x)+(3x)/(3x) $ $=(1/(3x)+1)$
2)l'asintotico $log (1+1/(3x)) $ $ ~~$ $1/(3x) $ corrisponde al noto limite notevole $lim_(t->0)log(1+t)/t=1$ dove in questo caso $t=1/(3x) $ ☺

ma quello che hai fatto sul punto 1) si può fare sempre?

[francicko]

Certamente è una elementare trasformazione algebrica $ (a+b)/b=a/b+b/b=a/b+1 $ , dentro l'argomento del logaritmo.

[Stizzens]

ok perfetto grazie mille