Limite parametrico

[ClaudiaComar]

ciao a tutti! dovrei studiare questo limite in funzione di $ alpha in [0,+oo [ $
$ lim_(x -> 0-)(((1+x)^alpha -1)|sinx|^alpha )/(|x|^alpha -ln(1+|x|^alpha )) $
ho cominciato ponendo $ alpha = 0 $ e viene
$ lim_(x -> 0-)(((1) -1)1 )/(1 -ln(1 )) $ = 0
poi ho provato a porre $ alpha = 1 $ e viene
$ lim_(x -> 0-)(((1+x) -1)|sinx| )/(|x| -ln(1+|x| )) = 0/0 $ forma indeterminata
ho provato a risolvere con hopital ma sembra non venire e lo sviluppo in serie non posso usarlo perchè
in x=0 la funzione non è definita
ho provato ad utilizzare le stime asintotiche
$ ((1+x)^ alpha -1)~ alphax $
$ |sinx|^alpha~ |x|^alpha $
$ ln(1+|x|^alpha)~ |x|^alpha $
però lo stesso non riesco a risolvere..qualcuno mi può aiutare?grazie

[Noisemaker]

a denominaore le stime non sono sufficienti, devi utilizzare lo sviluppo di Taylor.

[ClaudiaComar]

quindi se scrivo così è corretto?
per $ x<= 0 $
$ lim_(x -> 0-)(((1+alphax)-1)(-x)^alpha)/((-x)^alpha+x^alpha+x^(2alpha)/2)=-2(alphax )/x^2 $
dove per $ x<=0 $ lo sviluppo di $ ln(1+|x|^alpha) ~ -x -x^(2alpha)/2 +o(x^(3alpha))$