Limite ostico

[robe921]

Salve ragazzi, esercitandomi per l'esame di analisi mi sono imbattuto nella definizione della funzione prolungabile per continuità di $1-xsin(1/x)$, eliminabile definendo una nuova funzione che assume gli stessi valori di $f(x)$ per $xnex_0$ e il valore del limite $lim_(x->x_0)f(x)=L$ per $x=x_0$..
Ora ciò che non mi torna è proprio il calcolo del limite per $x->x_0$.. Secondo voi? Seno che tende ad infinito?

[Seneca1]

$|x * sin(1/x) | <= |x|$ , $AA x in RR$.

Allora $lim_(x -> 0) x * sin(1/x) = 0$.

[robe921]

possibile? 0? Ma poi perché? Potresti farlo passaggio per passaggio? Eppure ho provato a plottare la funzione su una calcolatrice grafica e a x=0 mi dà y=1..

[WalterLewin90]

infatti il limite diventa $1-xsin(1/x) = 1 -0=1$ =)

[robe921]

perché $xsin(1/x)$ tende a $0$? $1/x$ non produce una forma indeterminata del seno?

[WalterLewin90]

$|x*sin(1/x)|<|x|$ per ogni x reale. Infatti $-1 da cio si deduce $-x (I minori sono da intendersi minori o uguali)

[robe921]

perdonami ma proprio non mi torna.. perché si considera $|x*sin(1/x)|<|x|$? Cioè, per quale teorema si ha questa relazione? Non era così esplicita la mia incertezza?

[Covenant]

non è un teorema, è una semplice conseguenza del fatto che la funzione $sin(1/x)$ è ovviamente limitata tra -1 e 1.
Intuitivamente, quando $xto0$, l'argomento del seno tende all'infinito e il seno semplicemente non ha limite ma oscilla sempre tra -1 e 1. E' evidente che se moltiplichi 0 per qualcosa che oscilla tra -1 e 1 ottieni 0 sempre.

[robe921]

Grazie per la risposta, mi è più chiaro ma ancora non del tutto.. Vorrei solo capire cosa porta a quell'enunciato! Vorrei capirne il senso logico possibilmente e non dare per scontato che si faccia così.. Se mi potete spiegare perché si affronta in quel modo il problema e non in un altro, perché si usa quella relazione e non un'altra! Un esempio chiarificatore!