Limite [$+oo -oo$] senza de l'Hopital
Salve, torno a proporvi un limite. Ho lo svolgimento completo, ma provando a risolverlo diversamente mi trovo una soluzione diversa. Avrò fatto di sicuro qualche passaggio illecito, ma non lo trovo.
$ lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
I primi due passaggi sono uguali all'altro svolgimento.
$ = lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) + 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
$ = lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) * ((3^(1/x) - 1)/(1/x) (1/x)) ] + lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) ]$
Da questo punto le strade divergono. Questo è il mio
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (x^2+7)/(x^2-x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) + (x^2 + 4)/(x+2) - (x^2 + 4)/(x+2) ]$
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (1+7/x^2)/(1-1/x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) ( (3^cos(1/x) - 1)/cos(1/x) * cos(1/x)) + 3 (x^2 + 7)/(x-1) - (x^2 + 4)/(x + 2) ]$
ERRORE TRA QUESTI DUE PASSAGGI
$ = 3log3 + lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) * log3 * cos(1/x) + (2x^3 + 8x^2 + 17x + 46)/(x^2 + x - 2) ]$
$ = 3log3 + lim_(x->-oo) [ - (x^2 (1 + 4/x^2))/(x(1 + 2/x)) * log3 * cos(1/x) + (x^3(2 + 8/x + 17/x^2 + 46/x^3)) / (x^2(1 + 1/x - 2/x^2)) ]$
Infine raccolgo la x dopo aver semplificato.
$ = 3log3 +lim_(x->-oo) [ -x(log3 -2) ] = -(-oo) = +oo $
Quello del libro lo posto domani se riesco perchè ora è tardi (ci metto una vita a tracrivere gli svolgimenti!). Comunque sul libro alla fine esce $3(log3 +3)$
$ lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
I primi due passaggi sono uguali all'altro svolgimento.
$ = lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) + 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
$ = lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) * ((3^(1/x) - 1)/(1/x) (1/x)) ] + lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) ]$
Da questo punto le strade divergono. Questo è il mio
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (x^2+7)/(x^2-x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) + (x^2 + 4)/(x+2) - (x^2 + 4)/(x+2) ]$
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (1+7/x^2)/(1-1/x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) ( (3^cos(1/x) - 1)/cos(1/x) * cos(1/x)) + 3 (x^2 + 7)/(x-1) - (x^2 + 4)/(x + 2) ]$
ERRORE TRA QUESTI DUE PASSAGGI
$ = 3log3 + lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) * log3 * cos(1/x) + (2x^3 + 8x^2 + 17x + 46)/(x^2 + x - 2) ]$
$ = 3log3 + lim_(x->-oo) [ - (x^2 (1 + 4/x^2))/(x(1 + 2/x)) * log3 * cos(1/x) + (x^3(2 + 8/x + 17/x^2 + 46/x^3)) / (x^2(1 + 1/x - 2/x^2)) ]$
Infine raccolgo la x dopo aver semplificato.
$ = 3log3 +lim_(x->-oo) [ -x(log3 -2) ] = -(-oo) = +oo $
Quello del libro lo posto domani se riesco perchè ora è tardi (ci metto una vita a tracrivere gli svolgimenti!). Comunque sul libro alla fine esce $3(log3 +3)$
Risposte
Il risultato comunque mi viene diverso da quello dato dal libro, magari mi sbaglio ora provo a verificare con wolfram.
ho controllato con wolfram in quali passaggi sta l'errore ma ancora non lo trovo.
aaaaaah eccolo!!!! porca miseria mi sono accorto di dov'è l'errore... e finalmente ho capito perchè il libro usava quell'"artificio" matematico. ho usato il limite notevole $((3^cos(1/x)) - 1)/cos(1/x)$ ... $1/x$ tende a zero ma $cos(1/x)$ tende ad 1! sempre gli stessi errori faccio
aaaaaah eccolo!!!! porca miseria mi sono accorto di dov'è l'errore... e finalmente ho capito perchè il libro usava quell'"artificio" matematico. ho usato il limite notevole $((3^cos(1/x)) - 1)/cos(1/x)$ ... $1/x$ tende a zero ma $cos(1/x)$ tende ad 1! sempre gli stessi errori faccio
Via alternativa per giungere alla soluzione è fare un cambio di variabile e procedere con un paio di sviluppo in serie di MacLaurin ...
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