Limite notevolmente bastardo

maxster180
Heilà... draghi a due teste, qualcuno anche tre...

Questo limite mi ha un po' scompensato... ideina per risolverlo?

$lim_{x->0^+} (x + sin^2x)^frac(1)(lnx)$

Risposte
Luca.Lussardi
Prova a ricordare che $x^y=e^{y log x}$. Sull'esponente poi applica l'Hopital.

cavallipurosangue
Ciao!

Una visione alternativa ed alquanto semplice consiste nel l'accorgersi che $sin^2x$ è un'infinitesimo di ordine 2, mentre $x$ di ordine 1, ciò consente di trascurare il contributo del primo termine per il calcolo del limite in questione...

Il tutto si riduce al calcolo:

$\lim_{x\to0^+}x^(1/\lnx)=\lim_{x\to0^+}e^(\lnx/\lnx)=e$

Finito! :D

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"cavallipurosangue":
Ciao!

Una visione alternativa ed alquanto semplice consiste nel l'accorgersi che $sin^2x$ è un'infinitesimo di ordine 2, mentre $x$ di ordine 1, ciò consente di trascurare il contributo del primo termine per il calcolo del limite in questione...

Il tutto si riduce al calcolo:

$\lim_{x\to0^+}x^(1/\lnx)=\lim_{x\to0^+}e^(\lnx/\lnx)=e$

Finito! :D


Pero' questo è pericoloso a mio parere. Per esempio se hai $lim_{x to 0}((x^5)/(sin x-x+x^3/6))$, non puoi certo trascurare il $x^3/6$ al denominatore solo perché ha ordine 3 e x, sinx hanno ordine 1. Cioè, gli infinitesimi di ordine superiore non possono essere sempre trascurati.

cavallipurosangue
Ovviamente che è diverso... Sono due situazioni completamente differenti... Si capisce bene che nel primo caso fare così non comporta alcun disguido, visto che il termine ad ordine più basso non si sottrae con un'altro dello stesso ordine, a differenza del tuo esempio...

Luca.Lussardi
Effettivamente ciò che dice Martino è corretto: è pericoloso buttare gli infinitesimi quando questi sono composti con altre cose.... a meno che non ci sia sotto un risultato rigoroso e dimostrato.

cavallipurosangue
Certo è pericoloso, ovvio, ma non mi sembra scorretto... Bisogna però sapere, quando si può fare e quando no.

Dove si può fare direi che aiuta notevolemente... almeno io ho sempre fatto così...

Insomma, il termine dentro la parentesi del primo limite è sviluppabile:

$x+sin^2x=x+x^2+o(x^2)approxx$

Invece per il secondo denominatore:

$sinx-x+x^3/6=x-x^3/6+x^5/120-x+x^3/6+o(x^5)=x^5/120+o(x^5)$

Insomma credo che si capisca che si può trascurare direttamente gli infinitesimi di ordine superiore, sicuramente se non ci sono altri termini di ordine minimo, ma anche se, nell'eventualità che ci siano, la somma algebrica di questi ultimi non è nulla.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"cavallipurosangue":
Dove si può fare direi che aiuta notevolemente...


Sono d'accordo. Il problema è che secondo me non è facile capire dove si può fare. Al mio primo esame di analisi è comparso un limite di una frazione con un sacco di addendi sia sopra che sotto, e l'avviso chiaro "VIETATO USARE HOPITAL" balenava subito agli occhi :-D
Nel corso dello svolgimento di tale limite (all'esame) mi sono reso conto che eliminare allegramente gli infinitesimi porta a catastrofi inenarrabili.

Per questo da allora non lo faccio mai, piuttosto uso calibratamente gli sviluppi asintotici e verifico il risultato con il sacro Hopital.

Beh ecco, io la penso così :)

Cià.

cavallipurosangue
Capisco il tuo punto di vista... :D

Luca.Lussardi
Più che altro gli infinitesimi si buttano ricorrendo allo sviluppo di Taylor, quindi lasciando il famoso o piccolo al termine dello sviluppo. Non è chiaro però nella forma data dal testo come sviluppare con Taylor, visto che c'è una forma del tipo $f^g$. Diverso è invece procedere sulla frazione che poi appare come esponente di $e$....

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