Limite notevole "da risolvere"
Salve a tutti!
Mi sto esercitando sui limiti che si presentano in forma indeterminata.
Tra gli esercizi mi è capitato il seguente esercizio :
$ lim_(x -> 3) (e^(x-3)-1)/(x-3) $
Il problema è che richiede di risolverlo senza alcun limite notevole (quindi dovrei escludere la dim. formale che richiede il lim. notevole del log.).
Sapreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
Mi sto esercitando sui limiti che si presentano in forma indeterminata.
Tra gli esercizi mi è capitato il seguente esercizio :
$ lim_(x -> 3) (e^(x-3)-1)/(x-3) $
Il problema è che richiede di risolverlo senza alcun limite notevole (quindi dovrei escludere la dim. formale che richiede il lim. notevole del log.).
Sapreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
Risposte
Anche la regola di De L'Hopital è esclusa ?
Ciao,
visto che non puoi sfruttare limiti notevoli io farei così:
primo cambio di variabile: $x-3=y$ per ottenere $lim_(y->0)(e^y-1)/y$
secondo cambio: $e^y-1=z$ da cui ricavo $y=log(1+z)$ e il limite diventa $lim_(z->0)z/log(1+z)$$=lim_(z->0)1/(1/z log(1+z))$=$1/(lim_(z->0)log(1+z)^(1/z))$
Calcoliamo $lim_(z->0)$ $log(1+z)^(1/z)$
terzo cambio: $1/z=x$ ottengo $lim_(x->+oo)$ $log(1+1/x)^x=$ poichè la funzione $log(1+1/x)^x$ è continua $=log lim_(x->+oo)(1+1/x)^x$
A questo punto se non puoi utilizzare il risultato $lim_(x->+oo)(1+1/x)^x=e$ si utilizza un teorema che dice che se ${x_n}$ è una successione a valori nel dominio di $f$ e convergente a $x_0$ allora $lim_(x->x_0)f(x)=lim_(n->oo)f(x_n)$
Scelgo $x_n=n$ e calcoliamo il limite di $f(x_n)$ per $n rarr oo$ essendo $f(x)=(1+1/x)^x$
Calcolo pertanto: $lim_(n->oo)(1+1/n)^n=e$ per definizione (il numero $e$ è definito così). Allora anche
$lim_(x->+oo)(1+1/x)^x=e$ e il limite finale vale $1/(log e)=1$
Spero vada bene
visto che non puoi sfruttare limiti notevoli io farei così:
primo cambio di variabile: $x-3=y$ per ottenere $lim_(y->0)(e^y-1)/y$
secondo cambio: $e^y-1=z$ da cui ricavo $y=log(1+z)$ e il limite diventa $lim_(z->0)z/log(1+z)$$=lim_(z->0)1/(1/z log(1+z))$=$1/(lim_(z->0)log(1+z)^(1/z))$
Calcoliamo $lim_(z->0)$ $log(1+z)^(1/z)$
terzo cambio: $1/z=x$ ottengo $lim_(x->+oo)$ $log(1+1/x)^x=$ poichè la funzione $log(1+1/x)^x$ è continua $=log lim_(x->+oo)(1+1/x)^x$
A questo punto se non puoi utilizzare il risultato $lim_(x->+oo)(1+1/x)^x=e$ si utilizza un teorema che dice che se ${x_n}$ è una successione a valori nel dominio di $f$ e convergente a $x_0$ allora $lim_(x->x_0)f(x)=lim_(n->oo)f(x_n)$
Scelgo $x_n=n$ e calcoliamo il limite di $f(x_n)$ per $n rarr oo$ essendo $f(x)=(1+1/x)^x$
Calcolo pertanto: $lim_(n->oo)(1+1/n)^n=e$ per definizione (il numero $e$ è definito così). Allora anche
$lim_(x->+oo)(1+1/x)^x=e$ e il limite finale vale $1/(log e)=1$
Spero vada bene
"Matt91":
Salve a tutti!
Mi sto esercitando sui limiti che si presentano in forma indeterminata.
Tra gli esercizi mi è capitato il seguente esercizio :
$ lim_(x -> 3) (e^(x-3)-1)/(x-3) $
Il problema è che richiede di risolverlo senza alcun limite notevole (quindi dovrei escludere la dim. formale che richiede il lim. notevole del log.).
Sapreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
$ lim_(x -> 3) (e^(x-3)-1)/(x-3) $ si scrive $ lim_(X ->0) (e^(X)-1)/X $
Se prendo la funzione $ f : x -> e^x $ allora $ lim_(X ->0) (e^(X)-1)/X = f'(0) $
Dunque , bisogna conoscere f'(0) ....
"Camillo":
Anche la regola di De L'Hopital è esclusa ?
Si, in quanto gli esercizi sono antecedenti al capitolo che parla sia dei limiti notevoli, sia di Hopital.
Comunque credo che la dimostrazione di Ziben basti, grazie mille a tutti!
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