Limite Notevole problematico
Buonasera, oggi ho incontrato questo abominio in un compito di Analisi 1 del primo anno di Fisica. Durante il compito ho sbagliato a farne la derivata, arrivando a 0 come risultato, quando wolfram mi dice che il risultato corretto è 1/4. Ora a casa non riesco in nessuno modo a concludere in modo corretto ed elegante questo esercizio.
$ lim_(x -> 0) (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(sqrt(1+2x^4) -1 $
Ciò che faccio io è razionalizzare, usare de l'Hôpital, e trovarmi con il risultato sbagliato
Ringrazio in anticipo per il tempo dedicatomi
Chiedo scusa per il titolo generico, ma non sono riuscito a trovare un titolo adatto e non troppo lungo per descrivere tale esercizio.
$ lim_(x -> 0) (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(sqrt(1+2x^4) -1 $
Ciò che faccio io è razionalizzare, usare de l'Hôpital, e trovarmi con il risultato sbagliato
Ringrazio in anticipo per il tempo dedicatomi
Chiedo scusa per il titolo generico, ma non sono riuscito a trovare un titolo adatto e non troppo lungo per descrivere tale esercizio.
Risposte
$e^(log^2(cosx))-1approxlog^2(cosx)$ per $x->0$
$sqrt(1+2x^4)-1 approx 1/2(2x^4)$ per $x->0$
$lim_(x->0)log^2(cosx)/x^4$
$(log(cosx))^2=(log(1+(cosx-1)))^2approx(cosx-1)^2$ per $x->0$
$lim_(x->0)((cosx-1)/x^2)^2=1/4$
$sqrt(1+2x^4)-1 approx 1/2(2x^4)$ per $x->0$
$lim_(x->0)log^2(cosx)/x^4$
$(log(cosx))^2=(log(1+(cosx-1)))^2approx(cosx-1)^2$ per $x->0$
$lim_(x->0)((cosx-1)/x^2)^2=1/4$
Grazie per la velocità della risposta ma non capisco come $ sqrt(1 + 2x^4) -1 $ possa diventare $ x^4 $ , la radice non cambia nulla della situazione?
Lo sviluppo notevole è $(1+epsilon_n)^(1/2)=1+1/2epsilon_n+o(epsilon_n)$
Potresti anche razionalizzare, e otterresti con gli stessi passaggi la stessa soluzione
Ciao Nicola@@,
Proviamo ad accogliere il suggerimento di Ernesto01. Si ha:
$lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(sqrt(1+2x^4) - 1) = lim_{x \to 0} ((e^(log^(2)(cos(x)))-1)(sqrt(1+2x^4) + 1))/((sqrt(1+2x^4) - 1)(sqrt(1+2x^4) + 1)) = $
$ = lim_{x \to 0} ((e^(log^(2)(cos(x)))-1)\cdot (sqrt(1+2x^4) + 1))/(2x^4) = lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(2x^4) = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(log^(2)(cos(x))) \cdot lim_{x \to 0} (log^(2)(cos(x)))/(x^4) = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(log^(2)(cos(x))) \cdot lim_{x \to 0} (log^(2)[1 + (cos(x) - 1)])/((cos(x) - 1)^2) \cdot $
$ \cdot lim_{x \to 0} ((1 - cos(x))^2)/(x^4) = frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot (frac{1}{2})^2 = frac{1}{4}$
Diciamo che sicuramente era un modo per verificare che conoscessi tutti i limiti notevoli...
"Nicola@@":
non riesco in nessuno modo a concludere in modo corretto ed elegante questo esercizio.
Proviamo ad accogliere il suggerimento di Ernesto01. Si ha:
$lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(sqrt(1+2x^4) - 1) = lim_{x \to 0} ((e^(log^(2)(cos(x)))-1)(sqrt(1+2x^4) + 1))/((sqrt(1+2x^4) - 1)(sqrt(1+2x^4) + 1)) = $
$ = lim_{x \to 0} ((e^(log^(2)(cos(x)))-1)\cdot (sqrt(1+2x^4) + 1))/(2x^4) = lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(2x^4) = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(log^(2)(cos(x))) \cdot lim_{x \to 0} (log^(2)(cos(x)))/(x^4) = $
$ = frac{1}{2} \cdot lim_{x \to 0} (sqrt(1+2x^4) + 1) \cdot lim_{x \to 0} (e^(log^(2)(cos(x)))-1)/(log^(2)(cos(x))) \cdot lim_{x \to 0} (log^(2)[1 + (cos(x) - 1)])/((cos(x) - 1)^2) \cdot $
$ \cdot lim_{x \to 0} ((1 - cos(x))^2)/(x^4) = frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1^2 \cdot (frac{1}{2})^2 = frac{1}{4}$
Diciamo che sicuramente era un modo per verificare che conoscessi tutti i limiti notevoli...
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