Limite notevole e diseguaglianza di bernoulli
Salve a tutti,
chiedo aiuto in questo esercizio sulla diseguaglianza di bernuolli. Allora:
$ lim_(n -> oo ) a^n $, se a>1 allora è possibile applicare la formula di bernuolli $ a^n>= 1+ n(a - 1) $ .
Ecco io nell'ultimo passaggio non mi trovo, dato che la diseguaglianza di bernuolli dice che $ (1+x)^n>= 1 + nx $ per ogni numero reale >= -1 e per ogni numero naturale.
Grazie
chiedo aiuto in questo esercizio sulla diseguaglianza di bernuolli. Allora:
$ lim_(n -> oo ) a^n $, se a>1 allora è possibile applicare la formula di bernuolli $ a^n>= 1+ n(a - 1) $ .
Ecco io nell'ultimo passaggio non mi trovo, dato che la diseguaglianza di bernuolli dice che $ (1+x)^n>= 1 + nx $ per ogni numero reale >= -1 e per ogni numero naturale.
Grazie
Risposte
Ciao hubble,
Una semplice sostituzione: basta che poni $x := a - 1$ nella seconda e trovi la prima...
Una semplice sostituzione: basta che poni $x := a - 1$ nella seconda e trovi la prima...
ah ok grazie. Senti ma la diseguaglianza di bernoulli cosa dice praticamente, che qualsiasi numero reale < o = a 1 elevato alla n è maggiore o uguale a 1 + nx?
Ciao hubble,
Sulla disuguaglianza di Bernoulli, se proprio non trovi niente sul tuo libro di testo, il che mi pare un tantino strano, trovi moltissimo materiale anche in Rete, ad esempio qui.
Sulla disuguaglianza di Bernoulli, se proprio non trovi niente sul tuo libro di testo, il che mi pare un tantino strano, trovi moltissimo materiale anche in Rete, ad esempio qui.
"hubble":
ah ok grazie. Senti ma la diseguaglianza di bernoulli cosa dice praticamente, che qualsiasi numero reale < o = a 1 elevato alla n è maggiore o uguale a 1 + nx?
Forse non mi è chiara la domanda ma.. Non ti eri risposto da solo qui?
"hubble":
la diseguaglianza di bernuolli dice che $ (1+x)^n>= 1 + nx $ per ogni numero reale >= -1 e per ogni numero naturale.
No perchè se cosi' non ho capito molto bene il ragionamento che mi porta a sostituire $ (a-1) $ alla $ x $ nella prima espressione.
Infatti se sostituisco (a-1) a x dovrei avere che al primo termine $ [1+(a-1)]^2>=1+ n(a-1) $ Invece nella mia espressione avevo solo $ a^n $. Ecco tutto...
Infatti se sostituisco (a-1) a x dovrei avere che al primo termine $ [1+(a-1)]^2>=1+ n(a-1) $ Invece nella mia espressione avevo solo $ a^n $. Ecco tutto...
Rileggi con più attenzione la mia prima risposta... Poi $[1 + (a - 1)]^n$ è proprio uguale a $a^n$ (si semplificano gli $1$). Quel $2$ che hai messo ad esponente non so proprio da dove venga fuori...
ah certo, è vero, ora ho ricontrollato, che distratto!
Ma perchè (a-1) sostituisce l'incognita x? non dovrebbe essere a^n?
Ma perchè (a-1) sostituisce l'incognita x? non dovrebbe essere a^n?
Ciao hubble,
io non sono una cima, però con il principio di induzione me la cavicchio...il mio ragionamento è questo, basandomi sull'esercizio e non sulla forma che hai scritto tu della disuguaglianza di Bernoulli.
$a^n>=1+n(a-1)$
Ponendo $n=1$ verifichi che $a=a$, questo quindi è vero.
Vero per $n=1$ proviamo per $n=n+1$, andando quindi a sostituire alla $n$ il valore $n+1$, così ottenendo:
$a^(n+1)>=1+(n+1)(a-1)$=$a^(n+1)>=1+na-n+a-1$ pertanto $a^(n+1)>=na-n+a$.
Possiamo scrivere $a^(n+1)$ come $a^n a$ e sostituendo il valore noto iniziale $a^n=1+n(a-1)$ ottieni: $1+n(a-1)+a$ arrivando alla conclusione che $a^(n+1)>=1+n(a-1)+1$ in definitiva $a^(n+1)>=2+n(a-1)$.
Spero di non aver fatto qualche pasticcio qui e la, nel riscrivere le formule, e di esserti stato d'aiuto...ciao ciaoo
io non sono una cima, però con il principio di induzione me la cavicchio...il mio ragionamento è questo, basandomi sull'esercizio e non sulla forma che hai scritto tu della disuguaglianza di Bernoulli.
$a^n>=1+n(a-1)$
Ponendo $n=1$ verifichi che $a=a$, questo quindi è vero.
Vero per $n=1$ proviamo per $n=n+1$, andando quindi a sostituire alla $n$ il valore $n+1$, così ottenendo:
$a^(n+1)>=1+(n+1)(a-1)$=$a^(n+1)>=1+na-n+a-1$ pertanto $a^(n+1)>=na-n+a$.
Possiamo scrivere $a^(n+1)$ come $a^n a$ e sostituendo il valore noto iniziale $a^n=1+n(a-1)$ ottieni: $1+n(a-1)+a$ arrivando alla conclusione che $a^(n+1)>=1+n(a-1)+1$ in definitiva $a^(n+1)>=2+n(a-1)$.
Spero di non aver fatto qualche pasticcio qui e la, nel riscrivere le formule, e di esserti stato d'aiuto...ciao ciaoo
Salve ragazzi, vorrei chiedere una cosa sullo stesso limite notevole quando a è compreso tra -1 e 1.
intanto grazie per le risposte precedenti che mi sono state di aiuto.
Venendo alla domanda, il libro porta che se $ lim_(n -> oo) |a^n| = lim_(n->oo) 1/(1/|a|)^n=0 $
Il passaggio che non mi torna è quello che porta la $ a^n $ in valore assoluto al denominatore. Inoltre dato che nell'equazione del mio primo messaggio alla formula di bernoulli sostituisce la x con (a-1),
Grazie
intanto grazie per le risposte precedenti che mi sono state di aiuto.
Venendo alla domanda, il libro porta che se $ lim_(n -> oo) |a^n| = lim_(n->oo) 1/(1/|a|)^n=0 $
Il passaggio che non mi torna è quello che porta la $ a^n $ in valore assoluto al denominatore. Inoltre dato che nell'equazione del mio primo messaggio alla formula di bernoulli sostituisce la x con (a-1),
"hubble":questa volta a cosa attribuisco il valore di a compreso tra -1 e 1?
Allora:
$ lim_(n -> oo ) a^n $, se a>1 allora è possibile applicare la formula di bernuolli $ a^n>= 1+ n(a - 1) $ .
Dato che la diseguaglianza di bernuolli dice che $ (1+x)^n>= 1 + nx $ per ogni numero reale >= -1 e per ogni numero naturale.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo