Limite notevole di nepero in una forma strana

[Mascurzo91]

Ciao a tutti, mi sono trovato di fronte ad un limite notevole che non riesco a concludere:

\(\displaystyle \lim_{x -> +\infty} \left( 1+ \frac{x+1}{x^2 +1} \right)^{2x+3} \)

Io ho sempre visto limiti del tipo \(\displaystyle \lim_{x -> +\infty} \left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} \)

ma quel numeratore è un po' strano.. però vado avanti:

\(\displaystyle \lim_{x -> +\infty} \left( 1+ \frac{x+1}{x^2 +1} \right)^{\frac{(2x+3)(x^2+1)(x+1)}{(x^2+1)(x+1)}} \)

A questo punto non so come andare avanti, nella risoluzione dell'esercizio il professore arriva direttamente ad un risultato :s

[asker993]

Ciao, allora per questo tipo di limiti di consiglio di riportarti alla forma che te giustamente hai scritto cioè \( \displaystyle \lim_{x -> +\infty} \left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} \)

in questo caso per farlo devi operare così:

$lim x->infty$ $((1+1/((x^2+1)/(x+1)))^((x^2+1)/(x+1)))^((x+1)/(x^2+1)(2x+3))$
e allora mi son riportato ad una forma che è il limite notevole...adesso puoi concludere

[Mascurzo91]

Fin qui tutto bene, adesso:

\(\displaystyle \lim_{x->+\infty} \left( e \right)^{\frac{2x^2+5x+3}{x^2+1}} = e^{2} \)

E' corretto? Ho paura di aver sbagliato e aver risolto il limite "metà per volta"

[asker993]

nono è corretto

[Mascurzo91]

grazie mille per l'aiuto