Limite notevole con Nepero e x sotto radice

[lucaromano1]

Buongiorno,
per risolvere questo limite
$ lim_(x -> oo)(1+1/sqrt(x))^x $
usando il limite notevole neperiano, ho pensato di moltiplicare l'esponente di x per 2/2, così da ottenere:
$ lim_(x -> oo)(1+1/(x^(1/2)))^(x^(1*2/2)) $
quindi
$ lim_(x -> oo)((1+1/(x^(1/2)))^(x^(1/2)))^2 $
Ponendo f(x)=$x^(1/2)$ diventa $e^2$, ma dal risultato che trovo sul libro qualcosa non torna...

[taurus85]

scrivi e^ x*log(1+(1/(x)^(1/2)), applicando il limite notevole diventa e^(x*(1/(x)^(1/2))=e^(x^(1/2)) per oo è oo

[lucaromano1]

Grazie! Infatti oo è il risultato del libro...quindi in questi casi meglio fare riferimento al limite notevole del log anzichè di nepero

[taurus85]

quando ti trovi di fronte ad una funzione del tipo fx^(gx) ti consiglio di scriverla nella forma e^((gx)log(fx))

[Palliit]

@lucaromano: sbagli qua:

"lucaromano":...$ (1+1/(x^(1/2)))^(x^(1*2/2)) $ uguale a $ ((1+1/(x^(1/2)))^(x^(1/2)))^2 $

(la parte in corsivo l'ho aggiunta io).

Così il prodotto degli esponenti è $2x^(1/2)$ e non $x$.

Puoi fare così: $lim_(x to + oo)(1+1/sqrt(x))^x=lim_(x to + oo)(1+1/sqrt(x))^(sqrt(x)*sqrt(x))=lim_(x to + oo)[(1+1/sqrt(x))^sqrt(x)]^sqrt(x)$ ;

a questo punto hai un'esponenziale la cui base tende ad $e$ ed il cui esponente tende a $+oo$, dunque il limite è $+oo$.

[lucaromano1]

Perfetto, questa soluzione mi sembra si avvicini di più a quella ricercata (erano tutti limiti notevoli con Nepero)...grazie mille!