Limite notevole arcotangente
Ciao ragazzi 
,
questo è una parte dello svolgimento di un integrale improprio di 1° tipo.
$ lim_(x -> + oo ) 1/sqrt(3) arctan (2x+1)/sqrt(3) $ ; il libro come risultato mi da $ (sqrt(3) pi )/ 6 $
Come faccio ad ottenerlo? Devo utilizzare la formula del limite notevole dell'arcotangente? In tal caso, non so proprio come procedere
Molte grazie
,questo è una parte dello svolgimento di un integrale improprio di 1° tipo.
$ lim_(x -> + oo ) 1/sqrt(3) arctan (2x+1)/sqrt(3) $ ; il libro come risultato mi da $ (sqrt(3) pi )/ 6 $
Come faccio ad ottenerlo? Devo utilizzare la formula del limite notevole dell'arcotangente? In tal caso, non so proprio come procedere
Molte grazie
Risposte
Secondo me è sbagliato o trascritto male. Il risultato corretto è $pi/6$. SI tratta di un limite banale, l'arcotangente tende a $pi/2$ a $+\infty$.
vi riporto testo e soluzione dell'esercizio 
. Testo: $ int_(2 )^(oo) 1/(x^3 - 1) dx $
Soluzione consigliata: $ -sqrt(3) /6 pi + 1/6 ln 7+ 1/sqrt3 arctan (5/sqrt3) $
Innanzitutto chiedo scusa perchè ho trascritto male e di conseguenza ho creato confusione.
Facendo tutti i calcoli ottengo perfettamente questa parte di soluzione $ 1/6 ln 7+ 1/sqrt3 arctan (5/sqrt3) $,
la mia difficoltà viene fuori nel trovare quel $ -sqrt(3) /6 pi $.
Spero di essere stato un pò più chiaro
. Testo: $ int_(2 )^(oo) 1/(x^3 - 1) dx $ Soluzione consigliata: $ -sqrt(3) /6 pi + 1/6 ln 7+ 1/sqrt3 arctan (5/sqrt3) $
Innanzitutto chiedo scusa perchè ho trascritto male e di conseguenza ho creato confusione.
Facendo tutti i calcoli ottengo perfettamente questa parte di soluzione $ 1/6 ln 7+ 1/sqrt3 arctan (5/sqrt3) $,
la mia difficoltà viene fuori nel trovare quel $ -sqrt(3) /6 pi $.
Spero di essere stato un pò più chiaro
"Frasandro":
Facendo tutti i calcoli ottengo perfettamente questa parte di soluzione $ 1/6 ln 7+ 1/sqrt3 arctan (5/sqrt3) $,
la mia difficoltà viene fuori nel trovare quel $ -sqrt(3) /6 pi $.
Potresti postare i tuoi calcoli per favore?
Spero di trascriverli in serata
trascrivo solo la parte finale, se dopo ci sarà bisogno trascriverò la parte precedente 
$ 1/3 ln |x-1| - 1/6 ln |x^2+x+1|-1/sqrt3 arctan ((2x+1)/sqrt3 ) $
$ ln |x-1|^(1/3)/ (x^2+x+1)^ (1/6) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
$ ln (root(6)(|x-1|^2)/ root (6)(x^2+x+1)) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
$ln root(6)((x^2-2x+1) / (x^2+x+1)) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
adesso sostituisco gli estremi di integrazione. prima + infinto e dopo 2. A + infinito la radice sesta risulta 1 e il logaritmo di 1 è 0, poi faccio il $ lim_(x -> oo ) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $ - (sostituendo il 2) $ 1/6 ln 7 + 1/sqrt3 arctan ( (5)/sqrt3) $
Ecco cosa ottengo.
$ 1/3 ln |x-1| - 1/6 ln |x^2+x+1|-1/sqrt3 arctan ((2x+1)/sqrt3 ) $
$ ln |x-1|^(1/3)/ (x^2+x+1)^ (1/6) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
$ ln (root(6)(|x-1|^2)/ root (6)(x^2+x+1)) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
$ln root(6)((x^2-2x+1) / (x^2+x+1)) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $
adesso sostituisco gli estremi di integrazione. prima + infinto e dopo 2. A + infinito la radice sesta risulta 1 e il logaritmo di 1 è 0, poi faccio il $ lim_(x -> oo ) -1/sqrt3 arctan ( (2x+1)/sqrt3) $ - (sostituendo il 2) $ 1/6 ln 7 + 1/sqrt3 arctan ( (5)/sqrt3) $
Ecco cosa ottengo.
"dissonance":
Secondo me è sbagliato o trascritto male. Il risultato corretto è $pi/6$. SI tratta di un limite banale, l'arcotangente tende a $pi/2$ a $+\infty$.
e comunque riguardando bene quel limite e rileggendo questo messaggio, mi sa proprio che l'esercizio risulta alla perfezione.
Correggetemi se sbaglio....
Grazie a tutti
, Sandro.
Ti sei perso
\[
\lim_{x\to +\infty} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{2}\,.
\]
\[
\lim_{x\to +\infty} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{2}\,.
\]
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