Limite notevole

[Ellihca]

Buon Giorno a tutti
E' il mio primo messaggio nel forum; spero di non aver commesso qualche errore...
Volevo cortesemente chiedere se qualcuno mi potrebbe dare qualche indicazione per determinare questo limite:

lim (1/x)*ln((e^(x)-1)/x)
x->0

Ciao,
Ellihca

[Luca.Lussardi]

Hai provato con l'Hopital?

[Megan00b]

Sì, applicando 2 volte DeL'Hopital e ricordando che $lim_{x to 0}(e^x-1)/x=1$ ce la fai.

[Ellihca]

Ciao, grazie per la risposta;
Ho provato ad applicare la regola dell'Hopital ponendo f(x)=ln(e^(x)-1)/x e g(x)=x ma arrivo sempre alla forma indeterminata che non riesco a sbloccare...

[Megan00b]

scusa forse hai digitato male. La tua funzione è:
$1/xln(e^x-1)/x
oppure:
$1/xln((e^x-1)/x)$
?

[Ellihca]

La seconda che hai scritto è quella giusta; scusate se sono stato poco chiaro nel scriverla

[Megan00b]

ok
allora fai così:
$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x=lim_{x to 0}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1$ con D intendo la derivata
$=lim_{x to 0}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)=lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)=lim_{x to 0}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)=lim_{x to 0}(e^x)/(2)=1/2$

Modulo errori di calcolo... ho applicato 2 volte del'hopital.
torna?

[Ellihca]

Perfetto, torna
La seconda volta che applicavo Hopital lo facevo anche per il denominatore (e^x-1)/x che invece tendeva già da se a 1.
Grazie mille per la risposta,

Ciao !