Limite notevole
Buongiorno, ho un problema con la risoluzione di un esercizio di Analisi matematica I.
Non riesco a calcolare questo limite: $ lim_(x->0^+) (1-cosx^3)/(tan(x)+sin(x))^6 $
Ho provato a risolvere tramite l'uso dei limiti notevoli ma non riesco a trovare una soluzione.
Non riesco a calcolare questo limite: $ lim_(x->0^+) (1-cosx^3)/(tan(x)+sin(x))^6 $
Ho provato a risolvere tramite l'uso dei limiti notevoli ma non riesco a trovare una soluzione.
Risposte
Ciao, non so se avete trattato anche i limiti notevoli "generalizzati"; ossia i limiti notevoli che, invece di avere semplicemente la variabile $x$, hanno una generica funzione $f(x)$.
Mi spiego meglio: prendiamo ad esempio il classico
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$
Esso (e tutti gli altri limiti notevoli, a patto che vengano rispettate le tendenze a cui devono sottostare le funzioni considerate) si può generalizzare con una generica funzione $f(x)$ al posto delle $x$, a patto che $f(x)\to\0$ per $x\to\x_0$.
Nel nostro caso $x_0=0$ e $f(x)=x^3$; pertanto possiamo dire che, per il noto limite notevole del coseno, si ha che $\cos(x^3)\to 1-\frac{1}{2}(x^3)^2=1-\frac{x^6}{2}$.
Al denominatore non c'è bisogno di fare questo discorso, dovresti sapere già come si trattano il seno e la tangente.
Suppongo, a questo punto, che tu non sia ancora arrivato col programma agli sviluppi in serie di Taylor; in caso contrario sarebbe opportuno usare quelli, in quanto i limiti notevoli diventano obsoleti una volta conosciuto Taylor.
Ti metto in spoiler il risultato del limite, in modo che potrai controllarlo per conto tuo
Mi spiego meglio: prendiamo ad esempio il classico
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$
Esso (e tutti gli altri limiti notevoli, a patto che vengano rispettate le tendenze a cui devono sottostare le funzioni considerate) si può generalizzare con una generica funzione $f(x)$ al posto delle $x$, a patto che $f(x)\to\0$ per $x\to\x_0$.
Nel nostro caso $x_0=0$ e $f(x)=x^3$; pertanto possiamo dire che, per il noto limite notevole del coseno, si ha che $\cos(x^3)\to 1-\frac{1}{2}(x^3)^2=1-\frac{x^6}{2}$.
Al denominatore non c'è bisogno di fare questo discorso, dovresti sapere già come si trattano il seno e la tangente.
Suppongo, a questo punto, che tu non sia ancora arrivato col programma agli sviluppi in serie di Taylor; in caso contrario sarebbe opportuno usare quelli, in quanto i limiti notevoli diventano obsoleti una volta conosciuto Taylor.
Ti metto in spoiler il risultato del limite, in modo che potrai controllarlo per conto tuo
Ciao Fix96,
Benvenuto sul forum!
Il limite proposto mi pare piuttosto semplice...
Facendo uso dei soli limiti notevoli si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(tan(x)+sin(x))^6 = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot x^6/(tan(x)+sin(x))^6 = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot 1/(tan(x)/x + sin(x)/x)^6 = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot \lim_{x \to 0^+} 1/(tan(x)/x + sin(x)/x)^6 = $
$ = 1/2 \cdot 1/(1 + 1)^6 = 1/2^7 = 1/128 $
Benvenuto sul forum!
Il limite proposto mi pare piuttosto semplice...
Facendo uso dei soli limiti notevoli si ha:
$ \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(tan(x)+sin(x))^6 = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot x^6/(tan(x)+sin(x))^6 = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot 1/(tan(x)/x + sin(x)/x)^6 = \lim_{x \to 0^+} (1 - cosx^3)/(x^6) \cdot \lim_{x \to 0^+} 1/(tan(x)/x + sin(x)/x)^6 = $
$ = 1/2 \cdot 1/(1 + 1)^6 = 1/2^7 = 1/128 $
Grazie mille! In effetti a rivederlo così il limite è semplicissimo ma sono io che con Analisi non ho un bel rapporto 
Nel mio tentativo di soluzione avevo svolto il primo passaggio ma mi ero fermato alla parta in cui ho x^6 al nominatore e sin e tan al denominatore. Non mi era proprio venuto in mente di dividere per x ed ottenere semplicissimi limiti notevoli! Grazie mille!
Nel mio tentativo di soluzione avevo svolto il primo passaggio ma mi ero fermato alla parta in cui ho x^6 al nominatore e sin e tan al denominatore. Non mi era proprio venuto in mente di dividere per x ed ottenere semplicissimi limiti notevoli! Grazie mille!
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