Limite notevole

[Volt1]

Mi viene chiesto di risolvere il limite \( \lim_{x\rightarrow 0} {\frac{\sqrt[5](sin^2(3x)+1) -1}{x\log_2(1+x) }} \) . A prima vista mi pare abbastanza semplice ma il vero problema e quel $1+sin^2(3x)$ sotto radice che non riesco a trasformare in $1-cos(3x)$. Grazie in anticipo

[***1117]

Potresti guardalo in questo modo :

$lim_{x->0}(\frac{sen^2(3x)+1}{x^(\frac{2}{5})(log_2(1+x))^(\frac{2}{5})})^(frac{5}{2})=$
$=lim_{x->0}(\frac{\frac{sen^2(3x)}{9x^2}9x^2+1}{x^(\frac{2}{5})x^(\frac{2}{5})\frac{log_2(x+1)}{x^(\frac{2}{5})}})^(frac{5}{2})->\infty$

Giungi al risultato utilizzando i limiti notevoli

[francicko]

"Volt":Mi viene chiesto di risolvere il limite \( \lim_{x\rightarrow 0} {\frac{\sqrt[5](sin^2(3x)+1)}{x\log_2(1+x) }} \) . A prima vista mi pare abbastanza semplice ma il vero problema e quel $1+sin^2(3x)$ sotto radice che non riesco a trasformare in $1-cos(3x)$. Grazie in anticipo

Scusa, ma non e' nemmeno una forma indeterminata, sei sicuro che il limite e' quello che hai scritto sopra?

[Volt1]

Scusatemi ho corretto mi era sfuggito un -1 al denominatore

[***1117]

Adatta il mio ragionamento al tuo caso specifico.

[Volt1]

Trovo una forma indeterminata del tipo $0/0$ o sbaglio?

[francicko]

Esatto, abbiamo cosi una forma indeterminata $0/0$;Usando gli asintotici (od i limiti notevoli) si osserva che:
$sin (3x)~3x $, quindi $sin^2 (3x)=sin (3x)×sin(3x)~3x×3x=9x^2$
Inoltre:
$log_2(1+x)~x/log2$;
Ed essendo $(1+x)^(alpha)~(1+alphax) $ con $alpha$ $inR $
si avra' $root(5)(1+9x^2)=(1+9x^2)^(1/5)~(1+9/5x^2)$.
Sostituendo il nostro limite diventa:
$lim_(x->0 )((1+9x^2/5)-1)/(x×x/log2) $ $=lim_(x->0) (1+9x^2-1)/(x×x/log2) $ $=lim_(x->0)(9x^2/5)/(x^2/log2)=9log2/5$
, che dovrebbe essere il risultato corretto del limite.

[Volt1]

Nel mio corso non abbiamo usato questo tipo di procedimento (anche se mi è chiaro). Nel senso che abbiamo sempre risolto i limiti notevoli "in blocco" senza usare approssimazioni di vario genere ( anche se mi rendo conto che i limiti notevoli non sono altro che aprossimazioni di primo ordine)

[francicko]

="Volt" ( anche se mi rendo conto che i limiti notevoli non sono altro che aprossimazioni di primo ordine)

Esatto!
Un altro modo può essere il seguente:
Per semplicità possiamo scrivere a denominatore $log_2(1+x)=log_e(1+x/log2) $
il nostro limite diventa:
$lim_(x->0)(root(5)(1+sin^2(3x))-1)/ (xlog(1+x/log2) $
$=lim_(x->0)(e^((1/5)log(sin^2(3x)+1))-1)/(xlog (1+x/log2))$
Moltiplicando e dividendo per $(1/5)log (sin^2(3x)+1) $
avremo:
$lim_(x->0)(e^((1/5)log(sin^2(3x)+1))-1)/((1/5)log(sin^2(3x)+1)) $
$×lim_(x->0)((1/5)log(sin^2(3x)+1))/(xlog(1+x/log2))$
$=lim_(x->0)1×((1/5)log(sin^2(3x)+1))/(xlog (1+x/log2))$
$=lim_(x->0)(1/5)sin^2 (3x)×log(1+sin^2(3x))/sin^2(3x)×lim_(x->0)1/(x×(x/log2)×log(1+x/log2)/(x/log2))$
$=lim_(x->0)(1/5)×sin^2(3x)/(x^2/log2) $ $=lim_(x->0)(9x^2)(1/5)×sin^2 (3x)/(9x^2)×(log2/x^2)$ $ =(1/5)×9×log2=(9log2)/5$
Ho utilizzato solamente i limiti notevoli, tipo $lim_((fx)->0)(e^(f (x))-1)/(f(x)) =1$, ecc.

[Volt1]

Proprio quello che cercavo grazie