Limite notevole

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi mi sono imbattuto in limite molto strano che non riesco a capire

(n*ln^2(1+1/n))/(e^(1/n)-cos(1/radice di n ))

allora ho iniziato tutto per moltiplicare sopra e sotto per n per ricondurre il numeratore al limite notevole quindi il numeratore è 1. il denominatore tramite sostituzione con h e per n che tende ad infinito h tende a zero mi esce la seguente cosa
e^(h^2)-cos(h) il tutto diviso h^2 quindi riconoscendolo mi sono riportato al limite notevole del coseno anche perche ho supposto che per h che tende a zero il numero di nepero tende a 1 quindi il denominatore dovrebbe fare 1/2 e la successione totale è 2
ma invece non è 1/2 ma 3/2 non riesco proprio a capire. grazie anticipatamente

[onlyReferee]

Ciao
Potresti riscrivere cortesemente il limite in maniera più chiara Intanto è il limite per la variabile (suppongo $n$) che tende a cosa Posso supporre tenda a $0$ altrimenti non si riescono ad applicare i limiti notevoli ma bisogna comunque essere espliciti. Per lo svolgimento ti posso dire che la scelta migliore all'inizio è dividere sopra e sotto per $\frac{1}{n^2}$ (non come hai fatto te). Da lì poi non è estremamente complesso ricondursi ai limiti notevoli. Non ti servono sostituzioni strane, basta che al denominatore stai un attimo attento a riarrangiare un termine aggiungendo e sottraendo una stessa quantità (e con questo ho detto tutto)... Ripeto: se conosci i limiti notevoli dopo la prima divisione, una piccola semplificazione ed il semplice riarrangiamento suggerito il gioco è fatto. Confermo $\frac{3}{2}$ come risultato finale.
Se hai bisogno sono sempre qua.

[alessandro.roma.1654]

scusami se mi sono espresso male allora si tratta prima di tutto di una successione (appunto uso n ) quindi il limite tende per forza all infinito poi non ho voluto seguire la tua strana pero mi sei stato di aiuto dicendomi di aggiungere e togliere infatti al denominatore ho aggiunto e tolto 1 quindi ho raggruppato (+1-cos(h))/h^2 ( ricordando che H lo messo per sostituzione del argomento del coseno il quale per n che tende a infinito H tende a zero cosi mi riconduco hai limiti notevoli ) poi mi e rimasta una quantità: (e^(h^2)-1)/h^2 e per mia IGNORANZA non riuscivo a capire che questo era un limite notevole che tendeva a 1 quindi alla fine rimane 1/(1+1/2) e che alla fine la successione converge a questo benedetto 2/3. cmq grazie mille il problema senti per risolvere questo problema potevo usare benissimo gli asintotici oppure ero vincolato dai limiti notevoli ????

[onlyReferee]

Allora, premetto che di fatto anche se il limite descritto è da calcolare per $n \rightarrow +\infty$, trattandosi appunto di successione, la sostanza non cambia poiché operando la sostituzione $t = \frac{1}{n}$ ti riconduci ad un limite per $t \rightarrow 0$ e pertanto si possono applicare i limiti notevoli seguendo esattamente la strada che ti dicevo (in tal ovviamente dovrai dividere sopra e sotto per $t$ anziché per $\frac{1}{n}$).
Immagino che la tua seconda idea su cui mi chiedi lumi è quella di utilizzare la tecnica nota come principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti. Secondo me sì, si può provare (dopo la sostituzione che ti dicevo) ed anzi, in molti casi bisogna ammettere che vi sono varie strade per calcolare un limite. In ogni caso se il testo ti dice di utilizzare i limiti notevoli soffermati alla prima soluzione e stop.
Spero di esserti stato d'aiuto.