Limite notevole
So che il seguente limite converge ad $1$ tramite il limite fondamentale $lim_{n \to \infty}((sin a_n)/a_n)\to1$
$lim_{n \to \infty}n^2sin^2(1/n)$
Quali sono i passaggi? Ho provato dividendo e moltiplicando per $1/n^2$ e poi facendo la radice quadrata e in effetti mi trovo. Ma se provo a fare con $lim_{n \to \infty}n^2sin^2(2/n)$ non mi trovo più. Ho sbagliato qualcosa? Qualcuno può farmi tutti i passaggi?
$lim_{n \to \infty}n^2sin^2(1/n)$
Quali sono i passaggi? Ho provato dividendo e moltiplicando per $1/n^2$ e poi facendo la radice quadrata e in effetti mi trovo. Ma se provo a fare con $lim_{n \to \infty}n^2sin^2(2/n)$ non mi trovo più. Ho sbagliato qualcosa? Qualcuno può farmi tutti i passaggi?
Risposte
In vero:
$ n^2*sin^2(1/n)=(sin^2(1/n))/(1/n^2)=(sin(1/n)/(1/n))^2 $
Il secondo limite, in modo simile, moltiplicando e dividendo per 4.
Saluti
Mino
$ n^2*sin^2(1/n)=(sin^2(1/n))/(1/n^2)=(sin(1/n)/(1/n))^2 $
Il secondo limite, in modo simile, moltiplicando e dividendo per 4.
Saluti
Mino
in alternativa puoi usare gli sviluppi di Taylor-McLaurin.. vanno benissimo sia per le funzioni che per le successioni!
\( \sin^{2}(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n^2} \) per $n\to +\infty$
quindi hai che \( a_n=n^2\sin^{2}(1/n) \sim n^2\cdot \frac{1}{n^2}=1 \) per $n\to +\infty$
solo per ricordarlo
\( \sin^{2}(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n^2} \) per $n\to +\infty$
quindi hai che \( a_n=n^2\sin^{2}(1/n) \sim n^2\cdot \frac{1}{n^2}=1 \) per $n\to +\infty$
solo per ricordarlo
Grazie mille a tutti e due! Adesso ho capito!:D
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